En un estudio sobre niveles de ansiedad, se analizó una muestra de \( \mathbf{5 0} \) personas y se obtuvo un media de \( \mathbf{5 5} \) puntos en un cuestionario estandarizado, con una desviación estándar de \( \mathbf{8} \) punto Suponiendo que los niveles de ansiedad en la población siguen una distribución normal: a) Calcule la probabilidad de que la media muestral sea superior a \( \mathbf{5 3} \). b) Determine la probabilidad de que la media muestral sea inferior a \( \mathbf{5 6} \). c) Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre \( \mathbf{5 3} \) y 56 .

Para resolver este problema, utilizaremos las propiedades de la distribución normal y el teorema del límite central. ### a) Probabilidad de que la media muestral sea superior a \( 53 \): La media muestral sigue una distribución normal con media \( \mu = 55 \) y desviación estándar de la media muestral \( \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{50}} \approx 1.131 \). Calculamos el valor z para \( \bar{x} = 53 \): \[ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{53 - 55}{1.131} \approx -1.77 \] Buscando en la tabla de la distribución normal, encontramos \( P(Z > -1.77) \approx 0.9616 \). ### b) Probabilidad de que la media muestral sea inferior a \( 56 \): Calculamos el valor z para \( \bar{x} = 56 \): \[ z = \frac{56 - 55}{1.131} \approx 0.88 \] Buscando \( P(Z < 0.88) \), tenemos \( P(Z < 0.88) \approx 0.8106 \). ### c) Probabilidad de que la media muestral esté entre \( 53 \) y \( 56 \): Ya tenemos los valores z calculados para \( 53 \) y \( 56 \). \[ P(53 < \bar{x} < 56) = P(Z < 0.88) - P(Z < -1.77) \approx 0.8106 - 0.0384 \approx 0.7722 \] ### Resumen: - \( P(\bar{x} > 53) \approx 0.9616 \) - \( P(\bar{x} < 56) \approx 0.8106 \) - \( P(53 < \bar{x} < 56) \approx 0.7722 \)