3. Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado con una incógnita. a. \( 2 x-3>3 \) b. \( 2 x+5 \leq 3 x-8 \) c. \( \frac{2 x-3}{x-1} \geq 1 \) d. \( |x-8| \leq 3 \)

Vamos a resolver cada inecuación paso a paso. ───────────────────────────── a) 2x – 3 > 3  • Sumar 3 a ambos lados:   2x > 6  • Dividir entre 2:   x > 3 Respuesta: x > 3. ───────────────────────────── b) 2x + 5 ≤ 3x – 8  • Restar 2x a ambos lados:   5 ≤ x – 8  • Sumar 8 a ambos lados:   5 + 8 ≤ x ⟹ 13 ≤ x Respuesta: x ≥ 13. ───────────────────────────── c) (2x – 3)/(x – 1) ≥ 1  Paso 1: Restar 1 a ambos lados para llevar la inecuación a cero:   (2x – 3)/(x – 1) – 1 ≥ 0  Paso 2: Escribir 1 como (x – 1)/(x – 1):   [2x – 3 – (x – 1)]/(x – 1) ≥ 0  Paso 3: Simplificar el numerador:   (2x – 3 – x + 1) = x – 2   Queda: (x – 2)/(x – 1) ≥ 0  Paso 4: Encontrar los puntos críticos:   • Numerador cero en x = 2.   • Denominador cero en x = 1 (valor no permitido en el dominio).  Paso 5: Analizamos el signo de la expresión en los intervalos definidos por x = 1 y x = 2:   – Para x < 1, elegimos x = 0:    Numerador: 0 – 2 = –2 (negativo)    Denominador: 0 – 1 = –1 (negativo)    Cociente: (–)/(–) = positivo.   – Para 1 < x < 2, elegimos x = 1.5:    Numerador: 1.5 – 2 = –0.5 (negativo)    Denominador: 1.5 – 1 = 0.5 (positivo)    Cociente: (–)/(+) = negativo.   – Para x > 2, elegimos x = 3:    Numerador: 3 – 2 = 1 (positivo)    Denominador: 3 – 1 = 2 (positivo)    Cociente: (+)/(+) = positivo.  Paso 6: Incluimos el punto donde el numerador se hace cero (x = 2), ya que 0 es mayor o igual que 0. El punto x = 1 se excluye (pues no pertenece al dominio). Respuesta: La solución es x < 1 o x ≥ 2. En intervalo: (–∞, 1) ∪ [2, ∞). ───────────────────────────── d) |x – 8| ≤ 3 La definición de valor absoluto nos dice que:  –3 ≤ x – 8 ≤ 3 Suma 8 en la triple desigualdad:  –3 + 8 ≤ x ≤ 3 + 8 ⟹ 5 ≤ x ≤ 11 Respuesta: 5 ≤ x ≤ 11. ───────────────────────────── Respuestas finales: a) x > 3 b) x ≥ 13 c) x ∈ (–∞, 1) ∪ [2, ∞) d) 5 ≤ x ≤ 11