C. Ache a representação em série de potências para a integral dada e o intervalo de convergência: $$ \begin{array}{ll} ext { 1. } \int_{0}^{x} e^{t} d t & ext { 2. } \int_{0}^{x} \frac{d t}{t^{2}+4} \ ext { 3. } \int_{2}^{x} \frac{d t}{4-t} & ext { 4. } \int_{0}^{x} \ln (1+t) d t\end{array} $$

Question

C. Ache a representação em série de potências para a integral dada e o intervalo de convergência: $$ \begin{array}{ll}	ext { 1. } \int_{0}^{x} e^{t} d t & 	ext { 2. } \int_{0}^{x} \frac{d t}{t^{2}+4} \ 	ext { 3. } \int_{2}^{x} \frac{d t}{4-t} & 	ext { 4. } \int_{0}^{x} \ln (1+t) d t\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos resolver cada uma das integrais dadas, encontrando a representação em série de potências e o intervalo de convergência.

### 1. $$ \int_{0}^{x} e^{t} d t $$

A função $$ e^{t} $$ pode ser representada pela série de potências:

$$
e^{t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}
$$

Integrando essa série de potências de $$ 0 $$ a $$ x $$:

$$
\int_{0}^{x} e^{t} dt = \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} t^n dt
$$

Calculando a integral:

$$
\int_{0}^{x} t^n dt = \frac{x^{n+1}}{n+1}
$$

Portanto, temos:

$$
\int_{0}^{x} e^{t} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)n!} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^{m}}{m!}
$$

onde fizemos a substituição $$ m = n + 1 $$.

**Intervalo de Convergência:** A série de potências converge para todo $$ x \in \mathbb{R} $$.

---

### 2. $$ \int_{0}^{x} \frac{d t}{t^{2}+4} $$

A função $$ \frac{1}{t^{2}+4} $$ pode ser reescrita como:

$$
\frac{1}{t^{2}+4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{t}{2}\right)^{2}}
$$

Usando a série de potências para $$ \frac{1}{1-u} $$:

$$
\frac{1}{1 + u} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n u^n
$$

Substituindo $$ u = \left(\frac{t}{2}\right)^{2} $$:

$$
\frac{1}{1 + \left(\frac{t}{2}\right)^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{t}{2}\right)^{2n}
$$

Portanto:

$$
\frac{1}{t^{2}+4} = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{t}{2}\right)^{2n}
$$

Integrando de $$ 0 $$ a $$ x $$:

$$
\int_{0}^{x} \frac{d t}{t^{2}+4} = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_{0}^{x} \left(\frac{t}{2}\right)^{2n} dt
$$

Calculando a integral:

$$
\int_{0}^{x} \left(\frac{t}{2}\right)^{2n} dt = \frac{1}{(2)^{2n}} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
$$

Assim, temos:

$$
\int_{0}^{x} \frac{d t}{t^{2}+4} = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{(2)^{2n}(2n+1)}
$$

**Intervalo de Convergência:** A série converge para $$ |t| < 2 $$, ou seja, $$ |x| < 2 $$.

---

### 3. $$ \int_{2}^{x} \frac{d t}{4-t} $$

A função $$ \frac{1}{4-t} $$ pode ser reescrita como:

$$
\frac{1}{4-t} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{t}{4}}
$$

Usando a série de potências:

$$
\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n
$$

Substituindo $$ u = \frac{t}{4} $$:

$$
\frac{1}{4-t} = -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{t}{4}\right)^{n}
$$

Integrando de $$ 2 $$ a $$ x $$:

$$
\int_{2}^{x} \frac{d t}{4-t} = -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{2}^{x} \left(\frac{t}{4}\right)^{n} dt
$$

Calculando a integral:

$$
\int_{2}^{x} \left(\frac{t}{4}\right)^{n} dt = \frac{1}{4^{n}} \cdot \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_{2}^{x}
$$

Assim, temos:

$$
\int_{2}^{x} \frac{d t}{4-t} = -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n}} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{2^{n+1}}{n+1} \right)
$$

**Intervalo de Convergência:** A série converge para $$ |t| < 4 $$, ou seja, $$ |x| < 4 $$.

---

### 4. $$ \int_{0}^{x} \ln(1+t) d t $$

A função $$ \ln(1+t) $$ pode ser representada pela série de potências:

$$
\ln(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} t^n}{n}
$$

Integrando de $$ 0 $$ a $$ x $$:

$$
\int_{0}^{x} \ln(1+t) dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \int_{0}^{x} t^n dt
$$

Calculando a integral:

\[
\int_{0}^{x} t^n dt = \frac{x^{n+
1. $$ \int_{0}^{x} e^{t} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $$ com convergência para todo $$ x $$. 2. $$ \int_{0}^{x} \frac{dt}{t^{2}+4} = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2^{2n}(2n+1)} $$ com convergência para $$ |x| < 2 $$. 3. $$ \int_{2}^{x} \frac{dt}{4-t} = -\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n}} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{2^{n+1}}{n+1} \right) $$ com convergência para $$ |x| < 4 $$. 4. $$ \int_{0}^{x} \ln(1+t) dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n^{2}} $$ com convergência para $$ |x| < 1 $$.

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