8 Calcola il volume di un cono che ha l'area tota- le di $$ 1176 \pi \mathrm{~cm}^{2} $$ e l'area laterale $$ 25 / 24 $$ dell'a- rea di base. [ $$ \left.1344 \pi \mathrm{~cm}^{3}\right] $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Sia $$ r $$ il raggio della base, $$ s $$ il generatrice e $$ h $$ l'altezza del cono. Le formule note sono:
   - Area della base: $$ A_{\text{base}} = \pi r^2 $$
   - Area laterale: $$ A_{\text{lat}} = \pi r s $$
   - Area totale: $$ A_{\text{tot}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lat}} $$
   - Volume: $$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$
   - Relazione tra generatrice, raggio e altezza: $$ s^2 = r^2 + h^2 $$

2. Ci viene detto che l'area laterale è pari a $$\frac{25}{24}$$ dell'area della base:
   $$
   A_{\text{lat}} = \frac{25}{24} A_{\text{base}}
   $$
   Sostituendo le espressioni:
   $$
   \pi r s = \frac{25}{24} \pi r^2
   $$
   Dividendo entrambi i lati per $$\pi r$$ (essendo $$ r > 0 $$):
   $$
   s = \frac{25}{24} r
   $$

3. L'area totale del cono è data:
   $$
   A_{\text{tot}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lat}} = \pi r^2 + \pi r s
   $$
   Sostituendo $$ s = \frac{25}{24} r $$:
   $$
   A_{\text{tot}} = \pi r^2 + \pi r \left(\frac{25}{24} r\right) = \pi r^2 \left(1+\frac{25}{24}\right) = \pi r^2 \frac{49}{24}
   $$
   Dato che $$ A_{\text{tot}} = 1176\pi $$, si ha:
   $$
   \frac{49 \pi r^2}{24} = 1176\pi
   $$
   Dividendo per $$\pi$$:
   $$
   \frac{49r^2}{24} = 1176
   $$
   Moltiplicando entrambi i lati per 24:
   $$
   49r^2 = 1176 \cdot 24
   $$
   Dividendo per 49:
   $$
   r^2 = \frac{1176 \cdot 24}{49}
   $$
   Notiamo che $$ 1176 = 49 \cdot 24 $$, dunque:
   $$
   r^2 = 24 \cdot 24 = 576
   $$
   Quindi:
   $$
   r = 24\,\text{cm}
   $$

4. Calcoliamo la generatrice:
   $$
   s = \frac{25}{24} r = \frac{25}{24} \cdot 24 = 25\,\text{cm}
   $$

5. Calcoliamo l'altezza $$ h $$ usando il teorema di Pitagora:
   $$
   s^2 = r^2 + h^2 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{s^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 24^2}
   $$
   $$
   h = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}
   $$

6. Infine, il volume del cono è:
   $$
   V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 576 \cdot 7 = \frac{1}{3} \pi \cdot 4032 = 1344\pi\,\text{cm}^3
   $$
Il volume del cono è $$ 1344\pi \, \text{cm}^{3} $$.

8 Calcola il volume di un cono che ha l'area tota- le di \( 1176 \pi \mathrm{~cm}^{2} \) e l'area laterale \( 25 / 24 \) dell'a- rea di base. [ \( \left.1344 \pi \mathrm{~cm}^{3}\right] \)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions