4. Hitunglah \( \int_{C} \frac{z+2}{z} d z \) untuk (a) \( C: z=2 e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 \pi \), (b) \( C: z=2 e^{i t}, \pi \leq t \leq 2 \pi \)

Mari kita hitung integral yang diberikan di masing-masing kontur \( C \). (a) Untuk kontur \( C: z=2 e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 \pi \): Kita substitusi \( z = 2 e^{i t} \), maka \( d z = 2i e^{i t} dt \). Integral menjadi: \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{2 e^{i t} + 2}{2 e^{i t}} 2i e^{i t} dt = \int_{0}^{2\pi} (1 + \frac{2}{2 e^{i t}}) 2i e^{i t} dt \] Ini menyederhanakan ke: \[ \int_{0}^{2\pi} (2i e^{i t} + i e^{-i t}) dt = \int_{0}^{2\pi} 2i e^{i t} dt + \int_{0}^{2\pi} i e^{-i t} dt \] Karena kedua integral tersebut menghitung jumlah dari satu putaran di sekitar lingkaran, hasilnya adalah: \[ \int_{0}^{2\pi} 2i e^{i t} dt = 0 \quad \text{dan} \quad \int_{0}^{2\pi} i e^{-i t} dt = 0. \] Jadi, totalnya: \[ \int_{C} \frac{z+2}{z} d z = 0. \] (b) Untuk kontur \( C: z=2 e^{i t}, \pi \leq t \leq 2 \pi \): Langkah-langkahnya mirip, kita tetap menggunakan substitusi yang sama. Namun sekarang batas integral dari \( \pi \) ke \( 2\pi \): \[ \int_{\pi}^{2\pi} \frac{2 e^{i t} + 2}{2 e^{i t}} 2i e^{i t} dt = \int_{\pi}^{2\pi} (2i e^{i t} + i e^{-i t}) dt = \int_{\pi}^{2\pi} 2i e^{i t} dt + \int_{\pi}^{2\pi} i e^{-i t} dt. \] Kita perlu menghitung kedua integral: 1. \( \int_{\pi}^{2\pi} 2i e^{i t} dt \) = \( 2i \left[ \frac{e^{i t}}{i} \right]_{\pi}^{2\pi} = 2 \left[ e^{i t} \right]_{\pi}^{2\pi} = 2 (e^{2\pi i} - e^{\pi i}) = 2(1 - (-1)) = 4 \). 2. \( \int_{\pi}^{2\pi} i e^{-i t} dt = i \left[ -\frac{e^{-i t}}{i} \right]_{\pi}^{2\pi} = - \left[ e^{-i t} \right]_{\pi}^{2\pi} = - (e^{-2\pi i} - e^{-\pi i}) = -(1 - (-1)) = -2 \). Jadi total untuk (b): \[ \int_{C} \frac{z+2}{z} d z = 4 - 2 = 2. \]