(a). $$ (2 x+3 y) d x+(3 x+4 y) d y=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Sean
   $$
   M(x,y)=2x+3y \quad \text{y} \quad N(x,y)=3x+4y.
   $$

2. Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta:
   - Se calcula:
     $$
     \frac{\partial M}{\partial y}=3 \quad \text{y} \quad \frac{\partial N}{\partial x}=3.
     $$
     Como $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$, la ecuación es exacta.

3. Se busca una función potencial $$\Psi(x,y)$$ tal que:
   $$
   \frac{\partial \Psi}{\partial x}=2x+3y \quad \text{y} \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=3x+4y.
   $$

4. Se integra $$\frac{\partial \Psi}{\partial x}$$ con respecto a $$x$$:
   $$
   \Psi(x,y)=\int (2x+3y)\,dx=x^2+3xy+g(y),
   $$
   donde $$g(y)$$ es una función arbitraria de $$y$$.

5. Se deriva $$\Psi(x,y)$$ con respecto a $$y$$:
   $$
   \frac{\partial \Psi}{\partial y}=3x+g'(y).
   $$

6. Se iguala a $$N(x,y)$$:
   $$
   3x+g'(y)=3x+4y \quad \Longrightarrow \quad g'(y)=4y.
   $$

7. Se integra $$g'(y)$$ con respecto a $$y$$:
   $$
   g(y)=\int 4y\,dy=2y^2.
   $$

8. La función potencial es:
   $$
   \Psi(x,y)=x^2+3xy+2y^2.
   $$

9. Por el teorema de funciones potenciales, la solución general es:
   $$
   x^2+3xy+2y^2=C,
   $$
   donde $$C$$ es una constante arbitraria.
La solución general de la ecuación diferencial $$ (2x + 3y) dx + (3x + 4y) dy = 0 $$ es $$ x^2 + 3xy + 2y^2 = C $$, donde $$ C $$ es una constante.

(a). \( (2 x+3 y) d x+(3 x+4 y) d y=0 \)

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