[Resuelto]: 56) frac1x^4-1

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Acceso

1. Factorizamos el denominador:
  
   \[
   x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
   \]
  
2. Planteamos la descomposición en fracciones parciales:

\[
   \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}
   \]

3. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)\) para eliminar los denominadores:

\[
   1 = A(x + 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 - 1)
   \]
  
4. Expandimos cada término:

- Expansión de \(A(x + 1)(x^2 + 1)\):

\[
     A(x^3 + x^2 + x + 1) = Ax^3 + Ax^2 + Ax + A
     \]
  
   - Expansión de \(B(x - 1)(x^2 + 1)\):

\[
     B(x^3 - x^2 + x - 1) = Bx^3 - Bx^2 + Bx - B
     \]
  
   - Expansión de \((Cx + D)(x^2 - 1)\):

\[
     Cx(x^2 - 1) + D(x^2 - 1) = Cx^3 - Cx + Dx^2 - D
     \]
  
5. Sumamos los términos para obtener la expansión total:

\[
   1 = (A + B + C)x^3 + (A - B + D)x^2 + (A + B - C)x + (A - B - D)
   \]
  
6. Igualamos los coeficientes de los mismos grados al polinomio constante 1, es decir:

- Coeficiente de \(x^3\):

\[
     A + B + C = 0 \quad (1)
     \]
  
   - Coeficiente de \(x^2\):

\[
     A - B + D = 0 \quad (2)
     \]
  
   - Coeficiente de \(x\):

\[
     A + B - C = 0 \quad (3)
     \]
  
   - Término independiente:

\[
     A - B - D = 1 \quad (4)
     \]
  
7. Resolución del sistema de ecuaciones:

Del (3):

\[
   A + B - C = 0 \quad \Longrightarrow \quad C = A + B
   \]
  
   Sustituyendo \(C = A + B\) en (1):

\[
   A + B + (A + B) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2(A + B) = 0 \quad \Longrightarrow \quad A + B = 0
   \]
  
   Esto implica:

\[
   B = -A \quad \text{y por tanto} \quad C = 0
   \]
  
   Utilizamos (2):

\[
   A - (-A) + D = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2A + D = 0 \quad \Longrightarrow \quad D = -2A
   \]
  
   Ahora, usamos (4):

\[
   A - (-A) - D = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2A - D = 1
   \]
  
   Sustituimos \(D = -2A\):

\[
   2A - (-2A) = 1 \quad \Longrightarrow \quad 4A = 1 \quad \Longrightarrow \quad A = \frac{1}{4}
   \]
  
   De donde:

\[
   B = -\frac{1}{4}, \quad C = 0, \quad D = -2\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{2}
   \]
  
8. Por lo tanto, la descomposición es:

\[
   \frac{1}{x^4-1} = \frac{1/4}{x-1} - \frac{1/4}{x+1} - \frac{1/2}{x^2+1}
   \]

La respuesta final es:

\[
\boxed{\frac{1}{x^4-1} = \frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{4(x+1)} - \frac{1}{2(x^2+1)}}
\]

Hogar Banco de preguntas Matemáticas Cálculo

Pregunta

Ask by Wang Fowler. in Mexico

Mar 31,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

Solución

Factorizamos el denominador:
Planteamos la descomposición en fracciones parciales:
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por para eliminar los denominadores:
Expandimos cada término:
- Expansión de :
- Expansión de :
- Expansión de :
Sumamos los términos para obtener la expansión total:
Igualamos los coeficientes de los mismos grados al polinomio constante 1, es decir:
- Coeficiente de :
- Coeficiente de :
- Coeficiente de :
- Término independiente:
Resolución del sistema de ecuaciones:

Del (3):

Sustituyendo en (1):

Esto implica:

Utilizamos (2):

Ahora, usamos (4):

Sustituimos :

De donde:
Por lo tanto, la descomposición es:

La respuesta final es:

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Como

error msg

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Simplifique esta solución

Beyond the Answer

To understand

, we can start by factoring the denominator. The expression

can be factored using the difference of squares:

The factor

can be further factored as

. So, we get:

This means our original expression can be rewritten as:

Now, this decomposition helps show singularities and simplifies analysis in calculus or partial fraction decomposition!

Additionally, in real-world applications, understanding the behavior of this function is crucial in fields like physics and engineering when analyzing forces and vibrations in systems. These factors can represent poles in a control system where stability and resonance frequencies are studied, demonstrating the blend of mathematics with real-world phenomena!

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