Pregunta
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Given \( \triangle A B C \) with vertices at \( -A(1,2), B(3,7) \), and \( C(10,-2) \), and it's dilation, \( \triangle A^{\prime} B^{\prime} C \), with vertices at \( -A^{\prime}(6,12), B^{\prime}(18,42) \), and \( C^{\prime}(60,-12) \). What is the scale factor? Select one: a. \( \frac{1}{3} \) b. \( \frac{1}{2} \) c. 3 d. 6

Ask by Burton Floyd. in the United States
Mar 13,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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The scale factor is 6.

Solución

Let the dilation have a center at the origin. The dilation sends each point \( (x, y) \) to \( (kx, ky) \). We are given: \[ A(1,2) \rightarrow A^{\prime}(6,12) \] \[ B(3,7) \rightarrow B^{\prime}(18,42) \] \[ C(10,-2) \rightarrow C^{\prime}(60,-12) \] Check \( A \) first: \[ k \cdot 1 = 6 \quad \Rightarrow \quad k = 6, \] \[ k \cdot 2 = 12 \quad \Rightarrow \quad k = 6. \] Check \( B \): \[ k \cdot 3 = 18 \quad \Rightarrow \quad k = 6, \] \[ k \cdot 7 = 42 \quad \Rightarrow \quad k = 6. \] Check \( C \): \[ k \cdot 10 = 60 \quad \Rightarrow \quad k = 6, \] \[ k \cdot (-2) = -12 \quad \Rightarrow \quad k = 6. \] Since the scale factor is consistently \( k = 6 \), the answer is: d. \(6\)

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The Deep Dive

To find the scale factor of the dilation from triangle \( ABC \) to triangle \( A'B'C \), we can calculate it using the distance between corresponding points. Let's compare the coordinates of points \( A \) and \( A' \): - \( A(-1, 2) \) and \( A'(6, 12) \). To find the scale factor (k), we can use the formula: \[ k = \frac{\text{distance from the origin to } A'}{\text{distance from the origin to } A} \] Calculating these distances using the formula for distance from the origin \(\sqrt{x^2 + y^2}\): For \( A \): \[ \text{Distance to } A = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] For \( A' \): \[ \text{Distance to } A' = \sqrt{(6)^2 + (12)^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \] Now, the scale factor is: \[ k = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 6 \] Therefore, the scale factor is 6. The correct answer is: d. 6

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