\( f(x)=a(x-2)(x-8) \). \( \begin{array}{l}\text { Niki har fotograferat en regnbåge. Hon upp- } \\ \text { skattar regnbågens höjd till } 30 \text { meter och } \\ \text { regnbågens bredd till } 80 \text { meter. Niki tänker } \\ \text { att regnbågens form, åtminstone ungefärligt, } \\ \text { borde kunna beskrivas med en andragrads- } \\ \text { funktion. Hon lägger därför in bilden i ett } \\ \text { koordinatsystem. }\end{array} \) \$

Niki har valt att beskriva regnbågens form med en andragradsfunktion, vilket är en bra idé eftersom en regnbåge ofta har en parabolisk form. Funktionen \( f(x) = a(x-2)(x-8) \) är en sådan andragradsfunktion, där \( a \) är en konstant som påverkar parabolens "öppning" och "höjd". För att bestämma värdet på \( a \) kan vi använda informationen om regnbågens höjd och bredd. Vi vet att regnbågen har en maximal höjd på 30 meter och sträcker sig över en bredd av 80 meter. 1. **Bestämma vertexens x-koordinat**: Eftersom regnbågen sträcker sig från \( x = 2 \) till \( x = 8 \), kan vi beräkna vertexens x-koordinat som medelvärdet av dessa två punkter: \[ x_v = \frac{2 + 8}{2} = 5 \] 2. **Bestämma vertexens y-koordinat**: Vi vet att den maximala höjden (vertexens y-koordinat) är 30 meter, så: \[ f(5) = 30 \] 3. **Beräkna \( a \)**: För att hitta \( a \) sätter vi in \( x = 5 \) i funktionen: \[ f(5) = a(5-2)(5-8) = a(3)(-3) = -9a \] Vi vet att \( f(5) = 30 \), så vi får: \[ -9a = 30 \] \[ a = -\frac{30}{9} = -\frac{10}{3} \] 4. **Skriva den slutliga funktionen**: Nu kan vi skriva den fullständiga funktionen: \[ f(x) = -\frac{10}{3}(x-2)(x-8) \] Denna funktion beskriver regnbågens form i koordinatsystemet, där den når sin maximala höjd på 30 meter vid \( x = 5 \) och sträcker sig över en bredd av 80 meter.