PREGUNTES 1. Els vectors \( \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3} \) de l'espai vectorial \( \mathfrak{R}^{4} \) són linealment independents si: a. El rang de la matriu que formen és inferior al nombre de vectors -b. El rang de la matriu que formen és igual al nombre de vectors c. El determinant de la matriu que formen és igual a zero d. El determinant de la matriu que formen és diferent de zero 2. El conjunt de vectors \( \{(2, k, 2),(-2,0,4),(0, k, 6)\} \) és linealment dependent: a. Per a qualsevol valor de \( k \in \mathfrak{R} \) b. Només quan \( k \neq 0 \) c. Per a cap valor de \( k \in \Re \) d. Només per a \( k=0 \) 3. Els components del vector \( (0,5,-3) \) en la base formada pels vectors \( (1,3,-1),(1,0,-1) \mathrm{i}(2,-2,1) \) són: a. \( \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=0, \lambda_{3}=0 \) c. \( \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1 \) b. \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1 \) d. Cap de les anteriors 4. El conjunt de vectors \( \{(k, 0,1),(1,3,3),(3,0,1)\} \), amb \( k \in \Re \), formen una base de l'espai \( \Re^{3} \) : a. Per a cap valor de \( k \in \Re \) c. Per a qualsevol valor de \( k \in \Re \) b. Només per a \( k=3 \) d. Sempre que \( k \neq 3 \) 5. El cosinus de I'angle que formen els vectors \( \vec{u}_{1}=(2,1,4) \) i \( \vec{u}_{2}=(3,2,2) \) és: a. 0.9777 c. 0.8468 b. 0.4363 d. -0.1068 6. La forma quadràtica \( f(x, y, z)=a x^{2}-5 y^{2}+2 x y+6 y z \), amb \( a \in \Re \), és: a. Definida negativa per a \( a<0 \) b. Semidefinida negativa per a qualsevol valor d' \( a \) c. Indefinida per a qualsevol valor d' \( a \) d. Indefinida només per a \( a>0 \) 7. L'expressió conjuntista del subespai vectorial de \( \Re^{3} \) generat pels vectors \( (0,1,0) \mathrm{i}(2,1,2) \) és: a. \( \left\{(x, y, z) \in \Re^{3}\right. \) tals que \( \left.x-z=0\right\} \) b. \( \left\{(x, y, z) \in \mathfrak{R}^{3}\right. \) tals que \( \left.x-z=0, y=1\right\} \) c. \( \left\{(x, y, z) \in \Re^{3}\right. \) tals que \( \left.x+z=0\right\} \) d. \( \left\{(x, y, z) \in \Re^{3}\right. \) tals que \( \left.x-z=0, y-x=0\right\} \) 8. Si anomenem \( A \) al domini de la funció \( f(x, y)=\ln (x+y) \), llavors: a. A és tancat i no acotat b. A és obert i no acotat c. A és acotat

Vamos a resolver cada una de las preguntas planteadas. ### Pregunta 1 Los vectores \( \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3} \) de \( \mathfrak{R}^{4} \) son linealmente independientes si: - **a.** El rango de la matriz que forman es inferior al número de vectores. - **b.** El rango de la matriz que forman es igual al número de vectores. - **c.** El determinante de la matriz que forman es igual a cero. - **d.** El determinante de la matriz que forman es diferente de cero. **Respuesta correcta:** **b.** El rango de la matriz que forman es igual al número de vectores. **Explicación:** Para que un conjunto de vectores sea linealmente independiente, el rango de la matriz que los contiene debe ser igual al número de vectores. ### Pregunta 2 El conjunto de vectores \( \{(2, k, 2),(-2,0,4),(0, k, 6)\} \) es linealmente dependiente: - **a.** Para cualquier valor de \( k \in \mathfrak{R} \) - **b.** Solo cuando \( k \neq 0 \) - **c.** Para ningún valor de \( k \in \Re \) - **d.** Solo para \( k=0 \) **Respuesta correcta:** **d.** Solo para \( k=0 \). **Explicación:** Para \( k=0 \), los vectores se vuelven linealmente dependientes, ya que se puede expresar uno de ellos como combinación lineal de los otros. ### Pregunta 3 Los componentes del vector \( (0,5,-3) \) en la base formada por los vectores \( (1,3,-1),(1,0,-1) \) y \( (2,-2,1) \) son: - **a.** \( \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=0, \lambda_{3}=0 \) - **b.** \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1 \) - **c.** \( \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1 \) - **d.** Ninguna de las anteriores **Respuesta correcta:** **d.** Ninguna de las anteriores. **Explicación:** Para encontrar los componentes, se debe resolver el sistema de ecuaciones que resulta de igualar el vector a la combinación lineal de la base. ### Pregunta 4 El conjunto de vectores \( \{(k, 0,1),(1,3,3),(3,0,1)\} \), con \( k \in \Re \), forman una base de \( \Re^{3} \): - **a.** Para ningún valor de \( k \in \Re \) - **b.** Solo para \( k=3 \) - **c.** Para cualquier valor de \( k \in \Re \) - **d.** Siempre que \( k \neq 3 \) **Respuesta correcta:** **d.** Siempre que \( k \neq 3 \). **Explicación:** Para que los vectores formen una base, deben ser linealmente independientes, lo cual no ocurre cuando \( k=3 \). ### Pregunta 5 El coseno del ángulo que forman los vectores \( \vec{u}_{1}=(2,1,4) \) y \( \vec{u}_{2}=(3,2,2) \) es: - **a.** 0.9777 - **b.** 0.4363 - **c.** 0.8468 - **d.** -0.1068 **Cálculo del coseno:** \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u}_{1} \cdot \vec{u}_{2}}{||\vec{u}_{1}|| \cdot ||\vec{u}_{2}||} \] Calculamos el producto punto y las magnitudes de los vectores. ### Pregunta 6 La forma cuadrática \( f(x, y, z)=a x^{2}-5 y^{2}+2 x y+6 y z \), con \( a \in \Re \), es: - **a.** Definida negativa para \( a<0 \) - **b.** Semidefinida negativa para cualquier valor de \( a \) - **c.** Indefinida para cualquier valor de \( a \) - **d.** Indefinida solo para \( a>0 \) **Respuesta correcta:** **c.** Indefinida para cualquier valor de \( a \). **Explicación:** La forma cuadrática tiene términos que pueden tomar valores positivos y negativos, lo que indica que es indefinida. ### Pregunta 7 La expresión conjuntista del subespacio vectorial de \( \Re^{3} \) generado por los vectores \( (0,1,0) \) y \( (2,1,2) \) es: - **a.** \( \{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x-z=0\} \) - **b.** \( \{(x, y, z) \in \mathfrak{R}^{3} \mid x-z=0, y=1\} \) - **c.** \( \{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x+z=0\} \) - **d.** \( \{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x-z=0, y-x=0\} \) **Respuesta correcta:** **a.** \( \{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x-z=0\} \). **Explicación:** El subespacio generado por los vectores se puede describir mediante una relación lineal entre las coordenadas. ### Pregunta 8 Si llamamos \( A \) al dominio de la función \( f(x, y)=\ln (x+y) \), entonces: - **a.** A es cerrado y no acotado - **b.** A es abierto y no acotado - **c.** A es acotado **Respuesta correcta:** **b.** A es abierto y no acotado. **Explicación:** El dominio de \( \ln(x+y) \) es \( \{(x,y) \mid x+y > 0\} \), que es un conjunto abierto en \( \mathfrak{R}^{2} \). Si necesitas más detalles sobre algún cálculo o explicación, házmelo