\( y = 2 x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } - 2 x \)

1. Planteamos la ecuación igualada a cero: \[ 2x^2 + \frac{1}{2}x^3 - 2x = 0 \] 2. Reordenamos los términos en orden descendente según la potencia de \(x\): \[ \frac{1}{2}x^3 + 2x^2 - 2x = 0 \] 3. Factoremos \(x\) común en todos los términos: \[ x \left( \frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 \right) = 0 \] Con lo que obtenemos una solución inmediata: \[ x = 0 \] 4. Debemos resolver la ecuación cuadrática: \[ \frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 = 0 \] Para eliminar el factor fraccional, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2: \[ x^2 + 4x - 4 = 0 \] 5. Usamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\), donde \(a=1\), \(b=4\) y \(c=-4\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] Sustituyendo los valores: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} \] 6. Se calcula lo que está dentro de la raíz: \[ 4^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32 \] Entonces: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} \] 7. Se simplifica la raíz, sabiendo que \(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\): \[ x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2} \] 8. Así, las soluciones de la ecuación son: \[ x = 0, \quad x = -2 + 2\sqrt{2}, \quad x = -2 - 2\sqrt{2} \]