5. Un insecto se encuentra en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad está dado por \( T(x, y)=2 x^{2}-4 y^{2} \). El insecto está en \( (-1,2) \). ¿En qué dirección deberá moverse para disminuir lo más rápido posible la toxicidad?

La solución se obtiene siguiendo los siguientes pasos: 1. Calcular el gradiente de \( T(x,y) \). Las derivadas parciales son: \[ \frac{\partial T}{\partial x}=4x \quad \text{y} \quad \frac{\partial T}{\partial y}=-8y. \] Así, el gradiente es: \[ \nabla T(x,y) = (4x, -8y). \] 2. Evaluar el gradiente en el punto \((-1,2)\): \[ \nabla T(-1,2) = (4(-1), -8(2)) = (-4, -16). \] 3. La dirección de máximo descenso es la opuesta al gradiente. Por lo tanto, la dirección es: \[ -\nabla T(-1,2) = (4,16). \] 4. Si se requiere la dirección como vector unitario, se normaliza: \[ \text{Magnitude} = \sqrt{4^2 + 16^2} = \sqrt{16+256} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}. \] Entonces, el vector unitario es: \[ \left(\frac{4}{4\sqrt{17}}, \frac{16}{4\sqrt{17}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}}\right). \] Por lo tanto, el insecto debe moverse en la dirección del vector \(\boxed{(4,16)}\) o su vector unitario \(\left(\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}}\right)\) para disminuir lo más rápido posible la toxicidad.