7. Calcula la parte real de la siguiente función $$ f|z|=z^{3} $$, si, $$ z=x+i y $$ $$ \begin{array}{llll} ext { a) } \mathfrak{R} \mid f(z)=x^{3}-3 x y^{2} & ext { b) } \mathfrak{R} \mid f(z)=3 x^{2} y-y^{3} & ext { c) } \mathfrak{R}|f| z \mid=x^{3}+3 x y^{2} & ext { d) } \mathfrak{R}|f| z \mid=y^{3}-3 x^{2} y\end{array} $$

Question

7. Calcula la parte real de la siguiente función $$ f|z|=z^{3} $$, si, $$ z=x+i y $$ $$ \begin{array}{llll}	ext { a) } \mathfrak{R} \mid f(z)=x^{3}-3 x y^{2} & 	ext { b) } \mathfrak{R} \mid f(z)=3 x^{2} y-y^{3} & 	ext { c) } \mathfrak{R}|f| z \mid=x^{3}+3 x y^{2} & 	ext { d) } \mathfrak{R}|f| z \mid=y^{3}-3 x^{2} y\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

La función se define como

$$
f(z) = z^3,
$$

donde $$ z = x + iy $$.

Para encontrar la parte real, expandimos el cubo:

$$
z^3 = (x + iy)^3 = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3.
$$

Calculamos cada término por separado:

1. $$ x^3 $$ ya es real.
2. $$ 3x^2(iy) = 3ix^2y $$ es un término imaginario.
3. $$ 3x(iy)^2 $$: Notamos que $$(iy)^2 = i^2y^2 = -y^2$$, de modo que:
   
   $$
   3x(iy)^2 = 3x(-y^2) = -3xy^2,
   $$
   es un término real.
   
4. $$ (iy)^3 $$: Notamos que $$(iy)^3 = i^3y^3 = -iy^3$$ es un término imaginario.

Reuniendo términos reales e imaginarios obtenemos:

$$
z^3 = \bigl(x^3 - 3xy^2 \bigr) + i\bigl(3x^2y - y^3 \bigr).
$$

Por lo tanto, la parte real de $$ f(z) = z^3 $$ es

$$
\mathfrak{R} \, [f(z)] = x^3 - 3xy^2.
$$

La opción correcta es:

$$
\textbf{a) } \mathfrak{R} \, [f(z)]= x^3 - 3xy^2.
$$
La parte real de la función $$ f(z) = z^3 $$ es $$ x^3 - 3xy^2 $$.

Calcula la parte real de la siguiente función , si,

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