Calcular el volumen molar de H 2 a 350 K y 2.3 atm usando: a) Ecuación de gas ideal. b) Ecuación de gas de Van der Walls. c) Por medio del factor de Compresibilidad. d) ecuación de Peng/Robinson

Question

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Para calcular el volumen molar de $$ \text{H}_2 $$ a $$ 350 \, \text{K} $$ y $$ 2.3 \, \text{atm} $$, utilizaremos diferentes ecuaciones de estado. A continuación, se presentan los pasos para cada método.

### a) Ecuación de gas ideal

La ecuación de gas ideal se expresa como:

$$
PV = nRT
$$

Donde:
- $$ P $$ = presión (atm)
- $$ V $$ = volumen (L)
- $$ n $$ = número de moles
- $$ R $$ = constante de gas ideal ($$ 0.0821 \, \text{L} \cdot \text{atm} / \text{K} \cdot \text{mol} $$)
- $$ T $$ = temperatura (K)

El volumen molar $$ V_m $$ se puede expresar como:

$$
V_m = \frac{RT}{P}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
V_m = \frac{(0.0821 \, \text{L} \cdot \text{atm} / \text{K} \cdot \text{mol})(350 \, \text{K})}{2.3 \, \text{atm}}
$$

### b) Ecuación de gas de Van der Waals

La ecuación de Van der Waals se expresa como:

$$
\left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = RT
$$

Donde $$ a $$ y $$ b $$ son constantes específicas del gas. Para el hidrógeno, los valores son aproximadamente:
- $$ a = 0.244 \, \text{L}^2 \cdot \text{atm} / \text{mol}^2 $$
- $$ b = 0.0266 \, \text{L} / \text{mol} $$

Sustituyendo en la ecuación y resolviendo para $$ V_m $$.

### c) Factor de compresibilidad

El factor de compresibilidad $$ Z $$ se define como:

$$
Z = \frac{PV_m}{RT}
$$

Para el hidrógeno a $$ 350 \, \text{K} $$ y $$ 2.3 \, \text{atm} $$, se puede asumir un valor de $$ Z $$ cercano a 1 para gases ideales, pero se puede ajustar según datos experimentales. Luego, se calcula el volumen molar como:

$$
V_m = \frac{ZRT}{P}
$$

### d) Ecuación de Peng-Robinson

La ecuación de Peng-Robinson se expresa como:

$$
P = \frac{RT}{V_m - b} - \frac{a\alpha}{V_m^2 + 2bV_m - b^2}
$$

Donde $$ a $$ y $$ b $$ son constantes específicas del gas y $$ \alpha $$ es una función de la temperatura. Se deben calcular los valores de $$ a $$, $$ b $$ y $$ \alpha $$ para el hidrógeno y resolver la ecuación para $$ V_m $$.

Ahora procederé a realizar los cálculos para cada uno de estos métodos.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(0.0821\times 350\right)}{2.3}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{0.0821\times 350}{2.3}$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$\frac{28.735}{2.3}$$
- step3: Convert the expressions:
  $$\frac{\frac{5747}{200}}{\frac{23}{10}}$$
- step4: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{5747}{200}\times \frac{10}{23}$$
- step5: Reduce the numbers:
  $$\frac{5747}{20}\times \frac{1}{23}$$
- step6: Multiply the fractions:
  $$\frac{5747}{20\times 23}$$
- step7: Multiply:
  $$\frac{5747}{460}$$
Solve the equation $$ (2.3 + (0.244 / V_m^2)) * (V_m - 0.0266) = 0.0821 * 350 $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$V_{m}$$:
  $$\left(2.3+\left(\frac{0.244}{V_{m}^{2}}\right)\right)\left(V_{m}-0.0266\right)=0.0821\times 350$$
- step1: Set the base not equal to 0:
  $$\left(2.3+\left(\frac{0.244}{V_{m}^{2}}\right)\right)\left(V_{m}-0.0266\right)=0.0821\times 350,V_{m}\neq 0$$
- step2: Simplify:
  $$\frac{\left(575V_{m}^{2}+61\right)\left(5000V_{m}-133\right)}{1250000V_{m}^{2}}=28.735$$
- step3: Convert the expressions:
  $$\frac{\left(575V_{m}^{2}+61\right)\left(5000V_{m}-133\right)}{1250000V_{m}^{2}}=\frac{5747}{200}$$
- step4: Cross multiply:
  $$\left(575V_{m}^{2}+61\right)\left(5000V_{m}-133\right)\times 200=1250000V_{m}^{2}\times 5747$$
- step5: Simplify the equation:
  $$200\left(575V_{m}^{2}+61\right)\left(5000V_{m}-133\right)=7183750000V_{m}^{2}$$
- step6: Rewrite the expression:
  $$200\left(575V_{m}^{2}+61\right)\left(5000V_{m}-133\right)=200\times 35918750V_{m}^{2}$$
- step7: Evaluate:
  $$\left(575V_{m}^{2}+61\right)\left(5000V_{m}-133\right)=35918750V_{m}^{2}$$
- step8: Expand the expression:
  $$2875000V_{m}^{3}-76475V_{m}^{2}+305000V_{m}-8113=35918750V_{m}^{2}$$
- step9: Move the expression to the left side:
  $$2875000V_{m}^{3}-76475V_{m}^{2}+305000V_{m}-8113-35918750V_{m}^{2}=0$$
- step10: Subtract the terms:
  $$2875000V_{m}^{3}-35995225V_{m}^{2}+305000V_{m}-8113=0$$
- step11: Calculate:
  $$V_{m}\approx 12.511617$$
- step12: Check if the solution is in the defined range:
  $$V_{m}\approx 12.511617,V_{m}\neq 0$$
- step13: Find the intersection:
  $$V_{m}\approx 12.511617$$
Calculate or simplify the expression $$ (1 * 0.0821 * 350) / 2.3 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\left(1\times 0.0821\times 350\right)}{2.3}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{1\times 0.0821\times 350}{2.3}$$
- step2: Multiply the terms:
  $$\frac{28.735}{2.3}$$
- step3: Convert the expressions:
  $$\frac{\frac{5747}{200}}{\frac{23}{10}}$$
- step4: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{5747}{200}\times \frac{10}{23}$$
- step5: Reduce the numbers:
  $$\frac{5747}{20}\times \frac{1}{23}$$
- step6: Multiply the fractions:
  $$\frac{5747}{20\times 23}$$
- step7: Multiply:
  $$\frac{5747}{460}$$
Aquí están los resultados de los cálculos para el volumen molar de $$ \text{H}_2 $$ a $$ 350 \, \text{K} $$ y $$ 2.3 \, \text{atm} $$ utilizando diferentes métodos:

### a) Ecuación de gas ideal

El volumen molar calculado es:

$$
V_m \approx 12.49 \, \text{L/mol}
$$

### b) Ecuación de gas de Van der Waals

El volumen molar calculado es:

$$
V_m \approx 12.51 \, \text{L/mol}
$$

### c) Factor de compresibilidad

El volumen molar calculado utilizando el factor de compresibilidad (asumiendo $$ Z \approx 1 $$) es:

$$
V_m \approx 12.49 \, \text{L/mol}
$$

### d) Ecuación de Peng-Robinson

El cálculo para la ecuación de Peng-Robinson no se completó debido a un tiempo de espera en el cálculo. Sin embargo, este método generalmente requiere un análisis más detallado y puede ser más complejo.

### Resumen de resultados

- **Ecuación de gas ideal:** $$ V_m \approx 12.49 \, \text{L/mol} $$
- **Ecuación de Van der Waals:** $$ V_m \approx 12.51 \, \text{L/mol} $$
- **Factor de compresibilidad:** $$ V_m \approx 12.49 \, \text{L/mol} $$

Si necesitas que intente nuevamente el cálculo con la ecuación de Peng-Robinson o si deseas más detalles sobre alguno de los métodos, házmelo saber.
El volumen molar de $$ \text{H}_2 $$ a $$ 350 \, \text{K} $$ y $$ 2.3 \, \text{atm} $$ es aproximadamente $$ 12.49 \, \text{L/mol} $$ según la ecuación de gas ideal, $$ 12.51 \, \text{L/mol} $$ con la ecuación de Van der Waals, y $$ 12.49 \, \text{L/mol} $$ utilizando el factor de compresibilidad.

Calcular el volumen molar de H 2 a 350 K y 2.3 atm usando: a) Ecuación de gas ideal. b) Ecuación de gas de Van der Walls. c) Por medio del factor de Compresibilidad. d) ecuación de Peng/Robinson

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