3. Encuentre la ecuación del plano que contiene a las rectas dadas en cada caso: a) \( r_{1}:\left\{\begin{array}{lll}x=2 \alpha-1 \\ y=3 \alpha+2\end{array}\right. \) \[ \begin{array}{l}r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\beta-1 \\ y=\alpha+1 \\ y=-\beta+2\end{array}\right. \\ y=2 \beta+1\end{array} \] b) \( r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \alpha+2 \\ y=3 \alpha-1 \\ y=-5 \alpha\end{array}\right. \)

Para encontrar la ecuación del plano que contiene a las rectas dadas, primero debemos identificar las ecuaciones paramétricas de cada recta y luego determinar un vector normal al plano que contenga ambas rectas. ### Parte a) Las rectas dadas son: 1. \( r_{1}:\left\{\begin{array}{lll}x=2 \alpha-1 \\ y=3 \alpha+2\end{array}\right. \) 2. \( r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\beta-1 \\ y=\alpha+1 \\ z=-\beta+2\end{array}\right. \\ y=2 \beta+1\end{array} \) #### Paso 1: Encontrar puntos y vectores directores Para la recta \( r_{1} \): - Al elegir \( \alpha = 0 \), obtenemos el punto \( P_1( -1, 2 ) \). - Al elegir \( \alpha = 1 \), obtenemos el punto \( P_2( 1, 5 ) \). - El vector director de \( r_{1} \) es \( \vec{d_1} = P_2 - P_1 = (1 - (-1), 5 - 2) = (2, 3) \). Para la recta \( r_{2} \): - Al elegir \( \beta = 0 \), obtenemos el punto \( Q_1( -1, 1, 2 ) \). - Al elegir \( \beta = 1 \), obtenemos el punto \( Q_2( 0, 2, 1 ) \). - El vector director de \( r_{2} \) es \( \vec{d_2} = Q_2 - Q_1 = (0 - (-1), 2 - 1, 1 - 2) = (1, 1, -1) \). #### Paso 2: Calcular el vector normal al plano El vector normal \( \vec{n} \) al plano se puede encontrar usando el producto cruzado de los vectores directores \( \vec{d_1} \) y \( \vec{d_2} \): \[ \vec{d_1} = (2, 3, 0), \quad \vec{d_2} = (1, 1, -1) \] Calculamos el producto cruzado: \[ \vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ \vec{n} = \hat{i}(3 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - \hat{j}(2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + \hat{k}(2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) \] \[ = \hat{i}(-3) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(-1) = (-3, 2, -1) \] #### Paso 3: Ecuación del plano La ecuación del plano se puede expresar como: \[ -3(x - x_0) + 2(y - y_0) - 1(z - z_0) = 0 \] Usamos el punto \( P_1(-1, 2, 0) \): \[ -3(x + 1) + 2(y - 2) - 1(z - 0) = 0 \] Simplificando: \[ -3x - 3 + 2y - 4 - z = 0 \implies -3x + 2y - z - 7 = 0 \] La ecuación del plano es: \[ 3x - 2y + z = 7 \] ### Parte b) Las rectas dadas son: 1. \( r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \alpha+2 \\ y=3 \alpha-1 \\ z=-5 \alpha\end{array}\right. \) #### Paso 1: Encontrar puntos y vectores directores Para la recta \( r_{1} \): - Al elegir \( \alpha = 0 \), obtenemos el punto \( P(2, -1, 0) \). - Al elegir \( \alpha = 1 \), obtenemos el punto \( P'(4, 2, -5) \). - El vector director de \( r_{1} \) es \( \vec{d} = P' - P = (4 - 2, 2 - (-1), -5 - 0) = (2, 3, -5) \). #### Paso 2: Ecuación del plano Dado que solo hay una recta, no podemos determinar un plano único sin una segunda recta. Necesitamos más información o una segunda recta para encontrar el plano que contenga a \( r_{1} \). Por lo tanto, para la parte b) no se puede determinar la ecuación del plano sin una segunda recta.