\begin{tabular}{l} Exercice \( \mathbf{1}:(\mathbf{1 5 . 5} \mathbf{p t s}) \) \\ \cline { 2 - 3 }\( (\mathbf{1}+\mathbf{2}+\mathbf{1}) \) \\ 1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les équations et inéquation suivantes. \\ \( \bullet \frac{2 x-1}{2}+\frac{3 x-2}{4}=20-\frac{5 x}{7} \quad \bullet|2 x-6|+|x+6|= \) \\ 2. Soit le polynome \( P(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-x+6 \) \\ (2) \\ (a) Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( 2 x^{2}-7 x+6=0 \) \\ (b) Calculer \( P(1) \) et \( P(-1) \)\end{tabular}

Nous allons traiter chacune des parties de l’exercice. ────────────────────────────── 1. Résolution dans ℝ d’équations/inéquations a) Résoudre (2x – 1)/2 + (3x – 2)/4 = 20 – (5x)/7 • Étape 1. Mettre l’expression du membre de gauche sur un même dénominateur   Le dénominateur commun de 2 et 4 est 4. On écrit alors    (2x – 1)/2 = [2(2x – 1)]/4 = (4x – 2)/4   Ainsi,    (4x – 2)/4 + (3x – 2)/4 = (7x – 4)/4 • Étape 2. Écrire l’équation sous la forme :   (7x – 4)/4 = 20 – (5x)/7 • Étape 3. Éliminer les dénominateurs   Le PPCM de 4 et 7 est 28. On multiplie toute l’équation par 28 :    28 × ((7x – 4)/4) = 28 × 20 – 28 × ((5x)/7)   Ce qui donne :    7(7x – 4) = 560 – 4(5x)    49x – 28 = 560 – 20x • Étape 4. Regrouper les termes en x et isoler x   Ajoutons 20x aux deux membres et additionnons 28 :    49x + 20x = 560 + 28   soit 69x = 588   D'où x = 588/69 • Étape 5. Simplifier la fraction   On remarque que 588 et 69 sont divisibles par 3 :    588 ÷ 3 = 196 et 69 ÷ 3 = 23   Ainsi, x = 196/23 La solution est donc :   x = 196/23 ────────────────────────────── b) Concernant l’équation/inéquation |2x – 6| + |x + 6| = … Dans l’énoncé tel que reproduit, le second membre de l’égalité semble manquer. Pour pouvoir résoudre cette question (que ce soit une équation ou une inéquation), il faudrait que l’énoncé précise l’expression présente à droite du “=”. Si vous disposez de l’énoncé complet ou d’une précision, n’hésitez pas à nous la communiquer pour compléter la résolution. ────────────────────────────── 2. Étude du polynôme P(x) = 2x³ – 5x² – x + 6 a) Résoudre dans ℝ l’équation 2x² – 7x + 6 = 0 Il s’agit d’une équation du second degré dans x. • Calcul du discriminant Δ   Δ = (–7)² – 4 × 2 × 6 = 49 – 48 = 1 • Formule quadratique   x = [7 ± √1] / (2×2) = [7 ± 1] / 4   Donc :   – x₁ = (7 + 1)/4 = 8/4 = 2   – x₂ = (7 – 1)/4 = 6/4 = 3/2 Les solutions sont :   x = 2 et x = 3/2 ────────────────────────────── b) Calculer P(1) et P(–1) • Pour x = 1   P(1) = 2·1³ – 5·1² – 1 + 6      = 2 – 5 – 1 + 6      = 2 • Pour x = –1   P(–1) = 2·(–1)³ – 5·(–1)² – (–1) + 6      = 2·(–1) – 5·1 + 1 + 6      = –2 – 5 + 1 + 6      = 0 ────────────────────────────── Conclusion 1. (a) L’unique solution de l’équation (2x – 1)/2 + (3x – 2)/4 = 20 – (5x)/7 est x = 196/23.   (b) L’énoncé de l’équation/inéquation |2x – 6| + |x + 6| = … semble incomplet. Merci de vérifier ou compléter l’énoncé. 2. Pour le polynôme P(x) = 2x³ – 5x² – x + 6 :   (a) L’équation 2x² – 7x + 6 = 0 admet pour solutions x = 2 et x = 3/2.   (b) On a P(1) = 2 et P(–1) = 0. N’hésitez pas à demander des éclaircissements si nécessaire.