Pregunta
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Find a polynomial with integer coefficients that satisfies the given conditions. \( P \) has degree 3 and zeros 3 and \( i \).

Ask by Mullins Pena. in the United States
Mar 11,2025

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The polynomial with integer coefficients that has zeros 3 and \( i \) is: \[ x^3 - 3x^2 + x - 3 \]

Solución

1. Since \( P(x) \) has integer coefficients and one of its zeros is \( i \), its complex conjugate \( -i \) is also a zero. 2. Therefore, the three zeros of the degree 3 polynomial are \( 3 \), \( i \), and \( -i \). 3. The polynomial can be written in factored form as: \[ P(x) = k(x-3)(x-i)(x+i) \] where \( k \) is a nonzero constant. To ensure integer coefficients, we can choose \( k=1 \). 4. Note that: \[ (x-i)(x+i)=x^2+1 \] 5. Substituting back, we have: \[ P(x) = (x-3)(x^2+1) \] 6. Expanding the polynomial: \[ P(x) = x(x^2+1)-3(x^2+1)=x^3+x-3x^2-3 \] Thus, rearranging the terms: \[ P(x)=x^3-3x^2+x-3 \] The polynomial with integer coefficients that satisfies the conditions is: \[ x^3-3x^2+x-3. \]

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Bonus Knowledge

To find a polynomial \( P \) with integer coefficients, we start by noting that if \( i \) is a zero, then its conjugate \( -i \) must also be a zero (since the coefficients are integers). Thus, the zeros of the polynomial are \( 3 \), \( i \), and \( -i \). The polynomial can be expressed as: \[ P(x) = (x - 3)(x - i)(x + i) \] We can simplify the product of the complex conjugate factors: \[ (x - i)(x + i) = x^2 + 1 \] Now we can substitute this back into the polynomial: \[ P(x) = (x - 3)(x^2 + 1) \] Next, we distribute \( (x - 3) \) into \( (x^2 + 1) \): \[ P(x) = x(x^2 + 1) - 3(x^2 + 1) = x^3 + x - 3x^2 - 3 = x^3 - 3x^2 + x - 3 \] Thus, the polynomial \( P(x) \) is: \[ P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3 \]

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