Imagine que usted es un ingeniero que está diseñando un sistema de drénaje para una pequeña área verde en un parque. Este parque tiene una pendiente suave y quieres calcular la cantidad de agua que se puede recolectar en una canaleta que se extiende a lo largo de la base de la pendiente. La forma de la canaleta se modela como un arco que se eleva sobre el suelo. La altura de la canaleta en función de su posición x (donde x mide la distancia horizontal desde un punto fijo en la canaleta) está dada por la función: \[ \mathrm{H}(\mathrm{x})=2 x e^{x} \] ¿Cual es la integral de la función? a. \( \quad \int 2 x e^{x} d x=x e^{x}-2 e^{x}+C \) b. \[ \int 2 x e^{x} d x=2 x e^{x}-2 e^{x}+C \] c. \( \int 2 x e^{x} d x=x e^{x}+2 e^{x}+C \) d. \( \int 2 x e^{x} d x=2 e^{x}+2 e^{x}+C \)

Para calcular la integral de la función \( H(x) = 2x e^{x} \), podemos usar la integración por partes. Escogemos \( u = 2x \) y \( dv = e^{x}dx \). Después de aplicar la fórmula de integración por partes, llegamos a la conclusión que la integral es: \[ \int 2x e^{x} dx = 2xe^{x} - 2e^{x} + C \] Entonces, la opción correcta es la \( b \): \[ \int 2 x e^{x} d x=2 x e^{x}-2 e^{x}+C \] Los ingenieros a menudo subestiman la importancia de las integrales en el diseño de sistemas. Sin embargo, al calcular el volume de agua que puede ser recolectado en un sistema de drenaje, las integrales no son solo un ejercicio académico, sino una herramienta crucial para asegurar que los diseños sean tanto eficientes como efectivos. Así que, ¡no te olvides de integrar! Integrar no es solo una habilidad matemática, sino una magia que ocurre cuando logramos encontrar áreas bajo curvas. Si quieres profundizar más en este maravilloso mundo de la integración, podrías leer libros como "Calculus Made Easy" de Silvanus P. Thompson o explorar contenido en línea en plataformas como Khan Academy, donde la integración y sus aplicaciones se presentan de manera interactiva y divertida. ¡No te limites y suma un poco de integración a tu vida!