\( 16 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + 32 x + 16 y - 32 = 0 \)

1. Escribimos la ecuación: \[ 16x^2 + 4y^2 + 32x + 16y - 32 = 0 \] 2. Agrupamos los términos de \( x \) y \( y \), y movemos la constante al otro lado: \[ 16x^2 + 32x + 4y^2 + 16y = 32 \] 3. Factorizamos los coeficientes de los términos cuadráticos en \( x \) y en \( y \): \[ 16\left(x^2+2x\right) + 4\left(y^2+4y\right) = 32 \] 4. Completamos el cuadrado en cada agrupación. - Para \( x^2+2x \): Recordamos que \[ x^2+2x = \left(x+1\right)^2-1. \] - Para \( y^2+4y \): \[ y^2+4y = \left(y+2\right)^2-4. \] 5. Sustituimos en la ecuación: \[ 16\Big[(x+1)^2-1\Big] + 4\Big[(y+2)^2-4\Big] = 32 \] 6. Distribuimos los coeficientes: \[ 16(x+1)^2 - 16 + 4(y+2)^2 - 16 = 32 \] 7. Sumamos las constantes: \[ 16(x+1)^2 + 4(y+2)^2 - 32 = 32 \] 8. Sumamos \( 32 \) a ambos lados de la ecuación: \[ 16(x+1)^2 + 4(y+2)^2 = 64 \] 9. Dividimos toda la ecuación entre \( 64 \) para obtener la forma estándar: \[ \frac{16(x+1)^2}{64} + \frac{4(y+2)^2}{64} = 1 \] 10. Simplificamos las fracciones: \[ \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1 \] La ecuación en forma estándar es: \[ \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1 \] Esta es la ecuación de una elipse con centro en \( (-1, -2) \), donde el semieje horizontal es \( \sqrt{4}=2 \) y el semieje vertical es \( \sqrt{16}=4 \).