5. APLICA. Utiliza el ángulo de referencia para encontrar las funciones trigonométricas de cada ángulo. $$ \begin{array}{ll} ext { a. } 150^{\circ} & ext { d. } 7 \pi \ ext { b. } \frac{8 \pi}{3} & ext { e. } 225^{\circ} \ ext { c. } 330^{\circ} & ext { f. }-\frac{\pi}{6}\end{array} $$

Question

5. APLICA. Utiliza el ángulo de referencia para encontrar las funciones trigonométricas de cada ángulo. $$ \begin{array}{ll}	ext { a. } 150^{\circ} & 	ext { d. } 7 \pi \ 	ext { b. } \frac{8 \pi}{3} & 	ext { e. } 225^{\circ} \ 	ext { c. } 330^{\circ} & 	ext { f. }-\frac{\pi}{6}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

**a) Ángulo: $$150^\circ$$**  
- Ángulo de referencia:  
  $$
  180^\circ - 150^\circ = 30^\circ
  $$  
- En el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo.  
- Funciones trigonométricas:  
  $$
  \sin(150^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}
  $$
  $$
  \cos(150^\circ)=-\cos(30^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}
  $$
  $$
  \tan(150^\circ)=-\tan(30^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{3}
  $$

---

**b) Ángulo: $$\frac{8\pi}{3}$$**  
- Se reduce usando que los ángulos son equivalentes módulo $$2\pi$$:  
  $$
  \frac{8\pi}{3}-2\pi=\frac{8\pi-6\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}
  $$  
- Ángulo de referencia:  
  $$
  \pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}
  $$  
- El ángulo $$\frac{2\pi}{3}$$ se ubica en el segundo cuadrante (seno positivo, coseno negativo).  
- Funciones trigonométricas:  
  $$
  \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
  $$
  $$
  \cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}
  $$
  $$
  \tan\left(\frac{8\pi}{3}\right)=-\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}
  $$

---

**c) Ángulo: $$330^\circ$$**  
- Ángulo de referencia:  
  $$
  360^\circ-330^\circ=30^\circ
  $$  
- El ángulo $$330^\circ$$ se encuentra en el cuarto cuadrante, donde el coseno es positivo y el seno es negativo.  
- Funciones trigonométricas:  
  $$
  \sin(330^\circ)=-\sin(30^\circ)=-\frac{1}{2}
  $$
  $$
  \cos(330^\circ)=\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}
  $$
  $$
  \tan(330^\circ)=-\tan(30^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{3}
  $$

---

**d) Ángulo: $$7\pi$$**  
- Se reduce el ángulo módulo $$2\pi$$:  
  $$
  7\pi-6\pi=\pi
  $$  
- El ángulo equivalente es $$\pi$$, que se encuentra en el eje negativo de $$x$$.  
- Funciones trigonométricas:  
  $$
  \sin(7\pi)=\sin(\pi)=0
  $$
  $$
  \cos(7\pi)=\cos(\pi)=-1
  $$
  $$
  \tan(7\pi)=\tan(\pi)=0
  $$

---

**e) Ángulo: $$225^\circ$$**  
- Ángulo de referencia:  
  $$
  225^\circ-180^\circ=45^\circ
  $$  
- El ángulo $$225^\circ$$ se encuentra en el tercer cuadrante, donde tanto el seno como el coseno son negativos, pero la tangente es positiva.  
- Funciones trigonométricas:  
  $$
  \sin(225^\circ)=-\sin(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}
  $$
  $$
  \cos(225^\circ)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}
  $$
  $$
  \tan(225^\circ)=\tan(45^\circ)=1
  $$

---

**f) Ángulo: $$-\frac{\pi}{6}$$**  
- Se puede sumar $$2\pi$$ para obtener el ángulo equivalente en forma positiva:  
  $$
  -\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{-\pi+12\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}
  $$  
- Ángulo de referencia:  
  $$
  2\pi-\frac{11\pi}{6}=\frac{12\pi-11\pi}{6}=\frac{\pi}{6}
  $$  
- El ángulo $$\frac{11\pi}{6}$$ (o $$-\frac{\pi}{6}$$) se ubica en el cuarto cuadrante (seno negativo, coseno positivo).  
- Funciones trigonométricas:  
  $$
  \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}
  $$
  $$
  \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
  $$
  $$
  \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\tan\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}
  $$
**a) $$150^\circ$$:** - Seno: $$\frac{1}{2}$$ - Coseno: $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ - Tangente: $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ **b) $$\frac{8\pi}{3}$$:** - Seno: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ - Coseno: $$-\frac{1}{2}$$ - Tangente: $$-\sqrt{3}$$ **c) $$330^\circ$$:** - Seno: $$-\frac{1}{2}$$ - Coseno: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ - Tangente: $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ **d) $$7\pi$$:** - Seno: $$0$$ - Coseno: $$-1$$ - Tangente: $$0$$ **e) $$225^\circ$$:** - Seno: $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ - Coseno: $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ - Tangente: $$1$$ **f) $$-\frac{\pi}{6}$$:** - Seno: $$-\frac{1}{2}$$ - Coseno: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ - Tangente: $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

APLICA. Utiliza el ángulo de referencia para encontrar las
funciones trigonométricas de cada ángulo.

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