8.110. An aqueous solution containing $$ 85.0 \mathrm{wt} \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} $$ at $$ 60^{\circ} \mathrm{F} $$ (specific gravity $$ =1.78 $$ ) is diluted with pure liquid water at the same temperature. The feed solution volume is 350 mL . The mixing may be considered adiabatic, and the pressure is constant at 1 atm . (a) The product solution is to contain $$ 30.0 \mathrm{wt} \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} $$. Calculate the volume ( mL ) of water needed for the dilution, ideally using a single-dimensional equation.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. On connaît les données de départ :
   - La solution initiale a un volume de $$ V_0 = 350 \, \text{mL} $$.
   - La densité de la solution est $$ \rho = 1.78 \, \text{g/mL} $$.
   - La composition initiale est de $$ 85,0 \, \text{wt}\% $$ d'$$ \mathrm{H}_2\mathrm{SO}_4 $$.

2. Calcul de la masse de la solution initiale :
   $$
   m_0 = V_0 \times \rho = 350 \, \text{mL} \times 1.78 \, \text{g/mL} = 623 \, \text{g}
   $$

3. Masse d'$$ \mathrm{H}_2\mathrm{SO}_4 $$ dans la solution initiale :
   $$
   m_{\mathrm{acid}} = 0.85 \times 623 \, \text{g} = 529.55 \, \text{g}
   $$

4. Masse d'eau présente initialement dans la solution :
   $$
   m_{\mathrm{eau,initial}} = 623 \, \text{g} - 529.55 \, \text{g} = 93.45 \, \text{g}
   $$

5. Soit $$ x $$ la masse d'eau (en grammes) à ajouter. Comme la densité de l'eau est d'environ $$ 1 \, \text{g/mL} $$, $$ x $$ correspond également au volume en mL.

6. Dans la solution finale, la masse totale est :
   $$
   m_{\mathrm{total}} = m_{\mathrm{acid}} + m_{\mathrm{eau,initial}} + x = 623 \, \text{g} + x
   $$

7. La concentration finale souhaitée est de $$ 30,0 \, \text{wt}\% $$ d'$$ \mathrm{H}_2\mathrm{SO}_4 $$. On a donc :
   $$
   \frac{m_{\mathrm{acid}}}{m_{\mathrm{total}}} = 0.30
   $$
   Ce qui s'écrit :
   $$
   \frac{529.55}{623 + x} = 0.30
   $$

8. Résolution de l'équation :
   $$
   529.55 = 0.30 (623 + x)
   $$
   $$
   529.55 = 186.9 + 0.30 x
   $$
   $$
   0.30 x = 529.55 - 186.9 = 342.65
   $$
   $$
   x = \frac{342.65}{0.30} \approx 1142.17 \, \text{g}
   $$

9. Comme $$ 1 \, \text{g} $$ d'eau correspond à $$ 1 \, \text{mL} $$, le volume d'eau à ajouter est d'environ :
   $$
   1142 \, \text{mL}
   $$

Ainsi, il faut ajouter environ $$ 1142 \, \text{mL} $$ d'eau pour obtenir une solution contenant $$ 30,0 \, \text{wt}\% $$ d'$$ \mathrm{H}_2\mathrm{SO}_4 $$.
Il faut ajouter environ 1142 mL d'eau pour obtenir une solution à 30,0 % d'acide sulfurique.

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