Si \( x \neq 0, x \neq 1 \) y \( x \neq-1 \) entonces \( \frac{x+\frac{1}{x}}{x^{2}-\frac{1}{x^{2}}} \) es igual

Para resolver la expresión \(\frac{x+\frac{1}{x}}{x^{2}-\frac{1}{x^{2}}}\), primero simplifiquemos cada parte de la expresión. 1. Simplificar el numerador: \[ x + \frac{1}{x} \] 2. Simplificar el denominador: \[ x^2 - \frac{1}{x^2} \] Para simplificar el denominador, podemos usar la fórmula de la diferencia de cuadrados: \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \] En este caso, \( a = x \) y \( b = \frac{1}{x} \), por lo que: \[ x^2 - \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right) \] Ahora, la expresión original se convierte en: \[ \frac{x + \frac{1}{x}}{\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)} \] Podemos cancelar el \( x + \frac{1}{x} \) en el numerador y el denominador, siempre y cuando \( x \neq 0 \) y \( x \neq 1 \) (porque en estos casos, el numerador y el denominador serían cero, lo que no es permitido en una división). Después de cancelar, nos queda: \[ \frac{1}{x - \frac{1}{x}} \] Para simplificar más, podemos multiplicar el numerador y el denominador por \( x \) para eliminar la fracción en el denominador: \[ \frac{x}{x^2 - 1} \] Entonces, la expresión simplificada es: \[ \frac{x}{x^2 - 1} \] Por lo tanto, \(\frac{x+\frac{1}{x}}{x^{2}-\frac{1}{x^{2}}} = \frac{x}{x^2 - 1}\), siempre y cuando \( x \neq 0, x \neq 1 \) y \( x \neq -1 \).