Cual es el rango $$ y $$ dominio de la siguiente función: $$ y=\frac{x^{3}+2 x^{2}-x-2}{x^{2}-1} $$

Question

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1. Se tiene la función
   $$
   y=\frac{x^{3}+2x^{2}-x-2}{x^{2}-1}.
   $$

2. Factorizamos el denominador:
   $$
   x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
   $$

3. Factorizamos el numerador agrupando términos:
   $$
   \begin{aligned}
   x^{3}+2x^{2}-x-2 &= (x^{3}+2x^{2}) + (-x-2) \
   &= x^{2}(x+2) -1(x+2) \
   &= (x+2)(x^{2}-1).
   \end{aligned}
   $$

4. Sustituyendo en la función y simplificando (notar que $$x^2-1$$ se cancela siempre que no sea cero):
   $$
   y=\frac{(x+2)(x^{2}-1)}{x^{2}-1} = x+2 \quad \text{con } x^{2}-1 \neq 0.
   $$

5. Para que el denominador originalmente no se anule, debemos tener:
   $$
   x^{2}-1 \neq 0 \implies x\neq 1 \quad \text{y} \quad x\neq -1.
   $$
   Por ello, el dominio de la función es:
   $$
   \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1,\, 1 \}.
   $$

6. Aunque la función simplificada es $$y = x+2$$, es importante reconocer que en $$x=-1$$ y $$x=1$$ existen "huecos". Evaluamos la función simplificada en esos puntos:
   $$
   \begin{aligned}
   \text{Si } x &= -1,\quad y = -1+2 = 1,\[1mm]
   \text{Si } x &= 1,\quad y = 1+2 = 3.
   \end{aligned}
   $$
   Debido a que $$x=-1$$ y $$x=1$$ no están en el dominio, los valores $$y=1$$ y $$y=3$$ no se alcanzan.

7. Así, el rango de la función es:
   $$
   \{ y \in \mathbb{R} \mid y\neq 1,\, 3 \}.
   $$
El dominio de la función $$ y = \frac{x^{3}+2x^{2}-x-2}{x^{2}-1} $$ es todos los números reales excepto $$ x = -1 $$ y $$ x = 1 $$. El rango es todos los números reales excepto $$ y = 1 $$ y $$ y = 3 $$.

Cual es el rango dominio
de la siguiente función:

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