421 Scrivi l'equazione della circonferenza con il centro nel punto \( Q(3 ; 5) \) e tangente all'asse \( x \). Determina intersezioni \( A \) e \( B \) della circonferenza con l'asse \( y \). Detto \( C \) il punto di tangenza della circonferenza con l'asse \( x \), trova l'equazione della parabola con asse par lelo all'asse \( x \) passante per \( A \), per \( B \) e per \( C \). Sull'arco \( A B \) di parabola determina il punto \( P \) tale che la som delle sue distanze dagli assi cartesiani sia uguale a \( \frac{13}{3} \). \[ \left[x^{2}+y^{2}-6 x-10 y+9=0 ; A(0 ; 9), B(0 ; 1) ; C(3 ; 0), x=\frac{1}{3} y^{2}-\frac{10}{3} y+3 ; P\left(-\frac{7}{3} ;\right.\right. \]

Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo. ### 1. Equazione della circonferenza La circonferenza ha il centro nel punto \( Q(3, 5) \) e deve essere tangente all'asse \( x \). La distanza dal centro all'asse \( x \) è data dalla coordinata \( y \) del centro, quindi il raggio \( r \) della circonferenza è: \[ r = 5 \] L'equazione generale di una circonferenza con centro \( (h, k) \) e raggio \( r \) è: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] Sostituendo i valori di \( h \), \( k \) e \( r \): \[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 5^2 \] Quindi l'equazione diventa: \[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25 \] ### 2. Intersezioni con l'asse \( y \) Per trovare le intersezioni con l'asse \( y \), poniamo \( x = 0 \) nell'equazione della circonferenza: \[ (0 - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25 \] Calcoliamo: \[ 9 + (y - 5)^2 = 25 \] Semplificando: \[ (y - 5)^2 = 16 \] Prendendo la radice quadrata: \[ y - 5 = 4 \quad \text{oppure} \quad y - 5 = -4 \] Quindi: \[ y = 9 \quad \text{oppure} \quad y = 1 \] Le intersezioni sono quindi i punti \( A(0, 9) \) e \( B(0, 1) \). ### 3. Punto di tangenza \( C \) Il punto di tangenza \( C \) con l'asse \( x \) è dato dalle coordinate del centro con \( y = 0 \): \[ C(3, 0) \] ### 4. Equazione della parabola La parabola ha un asse parallelo all'asse \( x \) e passa per i punti \( A(0, 9) \), \( B(0, 1) \) e \( C(3, 0) \). L'equazione generale di una parabola con asse orizzontale è: \[ y = a(x - h)^2 + k \] Dove \( (h, k) \) è il vertice. Possiamo calcolare il vertice come il punto medio tra \( A \) e \( B \): \[ h = 0, \quad k = \frac{9 + 1}{2} = 5 \] Quindi l'equazione diventa: \[ y = a(x - 0)^2 + 5 \] Ora usiamo il punto \( C(3, 0) \) per trovare \( a \): \[ 0 = a(3 - 0)^2 + 5 \] Semplificando: \[ 0 = 9a + 5 \implies 9a = -5 \implies a = -\frac{5}{9} \] L'equazione della parabola è quindi: \[ y = -\frac{5}{9}x^2 + 5 \] ### 5. Punto \( P \) sull'arco \( AB \) Dobbiamo trovare il punto \( P(x, y) \) tale che la somma delle sue distanze dagli assi cartesiani sia uguale a \( \frac{13}{3} \): \[ |x| + |y| = \frac{13}{3} \] Poiché \( P \) si trova nell'arco tra \( A \) e \( B \), possiamo considerare \( x \) positivo. Quindi: \[ x + y = \frac{13}{3} \] Sostituendo \( y \) dall'equazione della parabola: \[ x - \frac{5}{9}x^2 + 5 = \frac{13}{3} \] Semplificando: \[ -\frac{5}{9}x^2 + x + 5 - \frac{13}{3} = 0 \] Moltiplichiamo per 9 per eliminare il denominatore: \[ -5x^2 + 9x + 15 - 39 = 0 \] Semplificando: \[ -5x^2 + 9x - 24 = 0 \] Ora possiamo risolvere questa equazione quadratica. Utilizziamo la formula quadratica: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Dove \( a = -5 \), \( b = 9 \), \( c = -24 \): \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-24)}}{2 \cdot (-5)} \] Calcoliamo il discriminante: \[ 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 24 = 81 - 480 = -399 \] Poiché il discriminante è negativo, non ci sono soluzioni reali per \( x \). Pertanto, non esiste un punto \( P \) sull'arco \( AB \) che soddisfi la condizione richiesta. ### Risultati finali 1. Equazione della circonferenza: \((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25\) 2. Intersezioni con l'asse \( y \): \( A(0, 9) \), \( B(0, 1) \) 3. Punto di tangenza: \( C(3, 0) \) 4. Equazione della parabola: \( y = -\frac{5}{9}x^2 + 5 \) 5. Punto \( P \): non esiste un punto \( P \) che soddisfi la condizione.