\( \begin{array}{l}\text { Exercice } \mathrm{n}^{\circ} \text { 3. } \\ \text { Les dimensions du triangle OBM sont données sur la figure : } \\ \text { Entourer parmi les données suivantes, celles qui sont correctes } \\ O B=\frac{2}{3} \\ \sin \widehat{B M O}=\frac{1}{3} \\ \sin \widehat{B O M}=\frac{1}{3}\end{array} \cos \widehat{B O M}=\frac{2}{3} \quad(\sin \widehat{B O M})^{2}+(\cos \widehat{B O M})^{2}=1 \).

On vous propose cinq affirmations. Pour déterminer lesquelles sont correctes, analysons la situation (en admettant que la figure indique un triangle droit) : Supposons que dans le triangle OBM, la longueur OB vaut 2/3 et que, d’après la figure, le triangle est rectangle en B. En effet, si l’hypoténuse est OM alors :   OM² = OB² + BM². Or, avec OB = 2/3, on pourra vérifier (d’après la figure) que OM = 1 et BM = √5⁄3 puisque :   (2/3)² + (√5⁄3)² = 4⁄9 + 5⁄9 = 9⁄9 = 1. La position des angles :  • L’angle BOM, en O, admet pour côté adjacent OB et pour côté opposé BM. Ainsi :   cos(BOM) = OB/OM = (2/3)/1 = 2/3,   sin(BOM) = BM/OM = (√5⁄3)/1 = √5⁄3.  • L’angle BMO, en M, a pour côté opposé OB et pour côté adjacent BM (mais comme le triangle est rectangle en B, l’hypoténuse est OM) :   sin(BMO) = OB/OM = 2/3. Examinons alors chacune des affirmations données : 1. OB = 2/3  – C’est exactement la donnée de la figure, donc c’est correct. 2. sin(∠BMO) = 1/3  – D’après le calcul, sin(∠BMO) = OB/OM = 2/3 et non 1/3.   Cette donnée est fausse. 3. sin(∠BOM) = 1/3  – On a trouvé sin(∠BOM) = √5/3. Comme √5/3 est différent de 1/3, cette donnée est fausse. 4. cos(∠BOM) = 2/3  – On a vu que cos(∠BOM) = OB/OM = 2/3.   Donc c’est correct. 5. (sin(∠BOM))² + (cos(∠BOM))² = 1  – C’est la relation fondamentale de la trigonométrie. Quel que soit l’angle, cette égalité vaut toujours 1.   Elle est donc correcte. En résumé, les données correctes sont : – OB = 2/3 – cos(∠BOM) = 2/3 – (sin(∠BOM))² + (cos(∠BOM))² = 1 Les deux autres (sin(∠BMO) = 1/3 et sin(∠BOM) = 1/3) sont erronées.