Analice la existencia de \( \lim _{x \rightarrow 1} f(x) \) si: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}-1}{x-1} & \text { si } x<1 \\ 3 x & \text { si } x \geq 1\end{array} \$ \frac{1}{l}\right. \]

Para analizar la existencia del límite \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \), debemos considerar el comportamiento de la función \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a 1 desde la izquierda (\( x \to 1^- \)) y desde la derecha (\( x \to 1^+ \)). La función \( f(x) \) está definida de la siguiente manera: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 1}{x - 1} & \text{si } x < 1 \\ 3x & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \] ### 1. Límite cuando \( x \to 1^- \) Para \( x < 1 \), utilizamos la primera parte de la definición de \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1} \] Podemos simplificar esta expresión. Notamos que \( x^3 - 1 \) se puede factorizar como \( (x - 1)(x^2 + x + 1) \): \[ f(x) = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^2 + x + 1 \quad \text{(para } x \neq 1\text{)} \] Ahora, calculamos el límite cuando \( x \) se aproxima a 1 desde la izquierda: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 \] ### 2. Límite cuando \( x \to 1^+ \) Para \( x \geq 1 \), utilizamos la segunda parte de la definición de \( f(x) \): \[ f(x) = 3x \] Calculamos el límite cuando \( x \) se aproxima a 1 desde la derecha: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (3x) = 3 \cdot 1 = 3 \] ### 3. Conclusión Hemos encontrado que: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 \] Dado que ambos límites laterales son iguales, podemos concluir que el límite existe: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 3 \] Por lo tanto, la respuesta es que el límite \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) existe y es igual a 3.