Halle los valores de \( a \) y \( b \) para que \( f(x)=\left\{\begin{array}{lr}\cos \left(\frac{\pi}{4} x\right) & \text { si }-1 \leq x \leq 2 \\ a(x-2)+b & \text { si } 2

Ask by Nunez Ray. in Argentina

Feb 19,2025

Para que la función \( f(x) \) sea continua en todo su dominio, debemos asegurarnos de que las transiciones entre las diferentes partes de la función sean continuas. Esto significa que debemos verificar la continuidad en los puntos donde cambian las definiciones de la función, es decir, en \( x = 2 \) y \( x = 4 \). ### Paso 1: Continuidad en \( x = 2 \) Para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 2 \), debemos tener que: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \] Calculamos cada uno de estos límites: 1. **Límite por la izquierda**: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} \cdot 2\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] 2. **Límite por la derecha**: \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = a(2-2) + b = b \] 3. **Valor de la función en \( x = 2 \)**: \[ f(2) = \cos\left(\frac{\pi}{4} \cdot 2\right) = 0 \] Igualando los límites y el valor de la función, tenemos: \[ 0 = b \] ### Paso 2: Continuidad en \( x = 4 \) Ahora, verificamos la continuidad en \( x = 4 \): \[ \lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4) \] Calculamos cada uno de estos límites: 1. **Límite por la izquierda**: \[ \lim_{x \to 4^-} f(x) = a(4-2) + b = 2a + b \] 2. **Límite por la derecha**: \[ \lim_{x \to 4^+} f(x) = \ln(4-3) = \ln(1) = 0 \] 3. **Valor de la función en \( x = 4 \)**: \[ f(4) = \ln(4-3) = 0 \] Igualando los límites y el valor de la función, tenemos: \[ 2a + b = 0 \] ### Paso 3: Resolviendo el sistema de ecuaciones Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 1. \( b = 0 \) 2. \( 2a + b = 0 \) Sustituyendo \( b = 0 \) en la segunda ecuación: \[ 2a + 0 = 0 \implies 2a = 0 \implies a = 0 \] ### Solución final Los valores que hacen que \( f(x) \) sea continua en todo su dominio son: \[ a = 0, \quad b = 0 \] ### Justificación de la continuidad Con \( a = 0 \) y \( b = 0 \), la función se convierte en: \[ f(x) = \left\{\begin{array}{lr}\cos \left(\frac{\pi}{4} x\right) & \text { si }-1 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text { si } 2