2 Calcula por Ruffini el cociente \( y \) el resto de cada una de las siguientes divisiones: a) \( \left(3 x^{4}+2 x^{3}-x^{2}+5 x-3\right):(x+1) \) b) \( \left(x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-x-6\right):(x-2) \) c) \( \left(5 x^{4}+6 x^{2}-11 x+13\right):(x-2) \) d) \( \left(x^{3}-x^{2}+2 x-8\right):(x+2) \)

Claro, resolveremos cada una de las divisiones utilizando el método de Ruffini. A continuación, se detallan los pasos para cada inciso: --- ### **a) \(\left(3x^{4} + 2x^{3} - x^{2} + 5x - 3\right) : (x + 1)\)** **Paso 1:** Identificar el divisor en forma de \(x - c\). Aquí, \(x + 1 = x - (-1)\), por lo que \(c = -1\). **Paso 2:** Escribir los coeficientes del polinomio dividendo: \[3 \quad 2 \quad -1 \quad 5 \quad -3\] **Paso 3:** Aplicar la regla de Ruffini: ``` ______________________________ -1 | 3 2 -1 5 -3 | -3 1 0 -5 ------------------------------ 3 -1 0 5 -8 ``` **Interpretación:** - Los números en la fila inferior representan los coeficientes del cociente y el último número es el resto. - Por lo tanto, el cociente \(y\) es: \[y = 3x^{3} - x^{2} + 0x + 5 = 3x^{3} - x^{2} + 5\] - Y el resto es \(-8\). --- ### **b) \(\left(x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} - x - 6\right) : (x - 2)\)** **Paso 1:** Identificar \(c = 2\). **Paso 2:** Coeficientes: \[1 \quad -2 \quad 2 \quad -1 \quad -6\] **Paso 3:** Aplicar Ruffini: ``` ______________________________ 2 | 1 -2 2 -1 -6 | 2 0 4 6 ------------------------------ 1 0 2 3 0 ``` **Interpretación:** - Cociente: \[y = x^{3} + 0x^{2} + 2x + 3 = x^{3} + 2x + 3\] - Resto: \(0\) --- ### **c) \(\left(5x^{4} + 6x^{2} - 11x + 13\right) : (x - 2)\)** **Nota:** Observamos que falta el término \(x^{3}\). Se debe incluir con coeficiente cero. **Paso 1:** Identificar \(c = 2\). **Paso 2:** Coeficientes: \[5 \quad 0 \quad 6 \quad -11 \quad 13\] **Paso 3:** Aplicar Ruffini: ``` ______________________________ 2 | 5 0 6 -11 13 | 10 20 52 82 ------------------------------ 5 10 26 41 95 ``` **Interpretación:** - Cociente: \[y = 5x^{3} + 10x^{2} + 26x + 41\] - Resto: \(95\) --- ### **d) \(\left(x^{3} - x^{2} + 2x - 8\right) : (x + 2)\)** **Paso 1:** Identificar \(c = -2\). **Paso 2:** Coeficientes: \[1 \quad -1 \quad 2 \quad -8\] **Paso 3:** Aplicar Ruffini: ``` ______________________________ -2 | 1 -1 2 -8 | -2 6 -16 ------------------------------ 1 -3 8 -24 ``` **Interpretación:** - Cociente: \[y = x^{2} - 3x + 8\] - Resto: \(-24\) --- Espero que estas soluciones sean de ayuda. Si tienes alguna otra duda o necesitas más explicaciones, no dudes en preguntar.