Una carica \( Q \) puntiforme si trova nel vuoto e produce in un punto \( P \) un campo elettrico di modulo \( E=2,0 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \). Il punto \( P \) si trova a una distanza \( d=40 \mathrm{~cm} \) da \( Q \). Calcola: il valore della carica \( Q \); - il valore della carica elettrica in grado di generare un campo elettrico dello stesso modulo nel punto \( P \) se fos- se in olio \( \left(\varepsilon_{\mathrm{r}}=3,1\right) \) anziché nel vuoto. \( \left[3,6 \times 10^{-7} \mathrm{C} ; 11 \times 10^{-7} \mathrm{C}\right] \)

1. Sappiamo che, per una carica puntiforme in vuoto, il modulo del campo elettrico a distanza \( d \) è dato da \[ E = \frac{k Q}{d^2} \,, \] dove \( k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8,99 \times 10^9 \, \mathrm{N\,m^2/C^2} \). 2. Isoliamo \( Q \) dalla formula: \[ Q = \frac{E \, d^2}{k} \,. \] 3. Sostituiamo i valori noti: - \( E = 2,0 \times 10^4\, \mathrm{N/C} \) - \( d = 40\, \mathrm{cm} = 0,40\, \mathrm{m} \) - \( d^2 = (0,40\, \mathrm{m})^2 = 0,16\, \mathrm{m^2} \) Quindi: \[ Q = \frac{2,0 \times 10^4 \times 0,16}{8,99 \times 10^9} \,. \] 4. Calcoliamo il numeratore: \[ 2,0 \times 10^4 \times 0,16 = 3200 \,. \] 5. Ora il valore di \( Q \) diventa: \[ Q = \frac{3200}{8,99 \times 10^9} \approx 3,56 \times 10^{-7}\, \mathrm{C} \,. \] Arrotondando, si ottiene \( Q \approx 3,6 \times 10^{-7}\, \mathrm{C} \). 6. Nel caso in cui il mezzo sia olio, la costante dielettrica relativa è \( \varepsilon_r = 3,1 \) e il campo elettrico è dato da \[ E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r d^2} = \frac{k\, Q}{\varepsilon_r\, d^2} \,. \] 7. Per ottenere lo stesso modulo \( E \) si ha: \[ Q_{\text{olio}} = \varepsilon_r \, Q_{\text{vuoto}} \,. \] 8. Sostituendo il valore calcolato in vuoto: \[ Q_{\text{olio}} = 3,1 \times 3,56 \times 10^{-7}\, \mathrm{C} \approx 11,04 \times 10^{-7}\, \mathrm{C} \,. \] Arrotondando, otteniamo \( Q_{\text{olio}} \approx 11 \times 10^{-7}\, \mathrm{C} \). Le risposte sono pertanto: - Carica nel vuoto: \( 3,6 \times 10^{-7}\, \mathrm{C} \) - Carica nell'olio: \( 11 \times 10^{-7}\, \mathrm{C} \)