Find the indefinite integral using the substitution \( x=6 \sec (\theta) \) \[ \int x^{3} \sqrt{x^{2}-36} d x \]

Para resolver la integral indefinida \[ \int x^{3} \sqrt{x^{2}-36} \, dx \] usando la sustitución \( x = 6 \sec(\theta) \), seguimos los siguientes pasos: 1. **Sustitución**: Primero, calculamos \( dx \) en términos de \( d\theta \): \[ dx = 6 \sec(\theta) \tan(\theta) \, d\theta \] 2. **Sustitución en la raíz**: Ahora sustituimos \( x \) en la expresión \( \sqrt{x^{2} - 36} \): \[ x^{2} = (6 \sec(\theta))^{2} = 36 \sec^{2}(\theta) \] Entonces, \[ \sqrt{x^{2} - 36} = \sqrt{36 \sec^{2}(\theta) - 36} = \sqrt{36(\sec^{2}(\theta) - 1)} = \sqrt{36 \tan^{2}(\theta)} = 6 \tan(\theta) \] 3. **Sustitución en la integral**: Ahora sustituimos \( x \), \( dx \) y \( \sqrt{x^{2} - 36} \) en la integral: \[ \int x^{3} \sqrt{x^{2}-36} \, dx = \int (6 \sec(\theta))^{3} (6 \tan(\theta)) (6 \sec(\theta) \tan(\theta) \, d\theta) \] Simplificando esto: \[ = \int 216 \sec^{3}(\theta) (6 \tan(\theta)) (6 \sec(\theta) \tan(\theta)) \, d\theta \] \[ = \int 1296 \sec^{4}(\theta) \tan^{2}(\theta) \, d\theta \] 4. **Integral resultante**: Ahora, podemos usar la identidad \( \tan^{2}(\theta) = \sec^{2}(\theta) - 1 \): \[ = \int 1296 \sec^{4}(\theta) (\sec^{2}(\theta) - 1) \, d\theta \] \[ = 1296 \int (\sec^{6}(\theta) - \sec^{4}(\theta)) \, d\theta \] 5. **Integración**: Ahora integramos cada término por separado. La integral de \( \sec^{6}(\theta) \) y \( \sec^{4}(\theta) \) se puede resolver usando fórmulas conocidas o tablas de integrales. - La integral de \( \sec^{6}(\theta) \) es: \[ \int \sec^{6}(\theta) \, d\theta = \frac{1}{5} \sec^{4}(\theta) \tan(\theta) + \frac{4}{5} \int \sec^{4}(\theta) \, d\theta \] - La integral de \( \sec^{4}(\theta) \) es: \[ \int \sec^{4}(\theta) \, d\theta = \frac{1}{3} \sec^{2}(\theta) \tan(\theta) + \frac{2}{3} \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) | + C \] 6. **Sustitución inversa**: Finalmente, después de calcular las integrales, sustituimos \( \theta \) de vuelta a \( x \) usando \( \sec(\theta) = \frac{x}{6} \) y \( \tan(\theta) = \sqrt{\frac{x^{2}}{36} - 1} = \frac{\sqrt{x^{2} - 36}}{6} \). El resultado final de la integral es: \[ \int x^{3} \sqrt{x^{2}-36} \, dx = \text{(resultado de las integrales)} + C \] Donde \( C \) es la constante de integración.