Pregunta
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A force \( \mathbf{F}=[-5,7,0] \) is applied to move a bead on a wire in the direction \( \mathbf{d}=[8,5,-7] \). What is the force in the direction of motion? \( \operatorname{proj}_{d} \mathbf{F}=[ \) Ex. 1.2\( \left.], \square\right] \)

Ask by Harris Bond. in the United States
Mar 18,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The force in the direction of motion is \(\left[-\frac{40}{138},\, -\frac{25}{138},\, \frac{35}{138}\right]\).

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Beyond the Answer

To find the force in the direction of motion, we need to calculate the projection of the force \(\mathbf{F}\) onto the direction vector \(\mathbf{d}\). The formula for the projection of \(\mathbf{F}\) onto \(\mathbf{d}\) is given by: \[ \operatorname{proj}_{\mathbf{d}} \mathbf{F} = \frac{\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}} \mathbf{d} \] Calculating the dot products, we have: \[ \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = [-5, 7, 0] \cdot [8, 5, -7] = (-5 \times 8) + (7 \times 5) + (0 \times -7) = -40 + 35 + 0 = -5 \] Next, we calculate \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}\): \[ \mathbf{d} \cdot \mathbf{d} = [8, 5, -7] \cdot [8, 5, -7] = 8^2 + 5^2 + (-7)^2 = 64 + 25 + 49 = 138 \] Now, we can find the projection: \[ \operatorname{proj}_{\mathbf{d}} \mathbf{F} = \frac{-5}{138} [8, 5, -7] = \left[ \frac{-40}{138}, \frac{-25}{138}, \frac{35}{138} \right] \] Thus, the force in the direction of motion is: \[ \operatorname{proj}_{d} \mathbf{F} = \left[ \frac{-40}{138}, \frac{-25}{138}, \frac{35}{138} \right] \] Final answer in the required format: \(\operatorname{proj}_{d} \mathbf{F}=[\frac{-20}{69},\frac{-25}{138},\frac{35}{138}]\)

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