48. La ecuación de la recta que pasa por el punto \( (1,-1) \) y por el punto medio del trazo de extremos \( (6,4) \) \( y(-2,2) \) es: A) \( 2 x-y-1=0 \) B) \( 2 x+y-1=0 \) C) \( 2 x-y+1=0 \) D) \( 4 x-y-5=0 \) E) \( 4 x+y-3=0 \)

Para determinar la ecuación de la recta, primero calculamos el punto medio entre los puntos \( (6,4) \) y \( (-2,2) \). Usamos la fórmula del punto medio: \[ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{6 + (-2)}{2}, \frac{4 + 2}{2} \right) = \left( 2, 3 \right). \] Ahora tenemos los puntos \( A(1,-1) \) y \( M(2,3) \). Para encontrar la pendiente: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-1)}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4. \] Con una pendiente de \( 4 \) y usando la fórmula de la recta \( y - y_1 = m(x - x_1) \): \[ y - (-1) = 4(x - 1) \implies y + 1 = 4x - 4 \implies 4x - y - 5 = 0. \] Por lo tanto, la respuesta correcta es \( D) \, 4x - y - 5 = 0 \). Si te encantó la forma en que encontramos la ecuación de la recta, ¡imagina cómo se aplica en la vida real! Los ingenieros y arquitectos a menudo utilizan ecuaciones de rectas para diseñar puentes, edificios y carreteras. Desde garantizar que un puente sea seguro hasta crear la fachada perfecta para un rascacielos, la geometría y las ecuaciones son esenciales para su trabajo. Otro punto interesante es que las ecuaciones de la recta no son solo una herramienta matemática. Pero también revelan historias y conexiones. Así que la próxima vez que uses una ecuación lineal, recuerda que estás creando un puente no solo entre dos puntos en un gráfico, sino también en el mundo real. ¡Las matemáticas son realmente un lenguaje universal!