Ei productor de cierta clase de componentes electrónicos ha estimado que su utifidad en miles de dólares está dada por la expresión \( -36 u^{2}+ \) \( 6000 u+10 \) donde "u" representa el número de unidades producidas(en unidades de millar). iQué nivel de producción le permitirá obtener una utifidad de por lo menos de uS \( \$ 10000 \) ?

Sea la función de utilidad \[ U(u)=-36u^2+6000u+10, \] donde \( U(u) \) está expresada en miles de dólares y \( u \) es el número de unidades producidas en miles. Se desea que la utilidad sea al menos US \(\$10000\), es decir, como la función está en miles, que \( U(u) \ge 10 \). Planteamos la desigualdad \[ -36u^2+6000u+10\ge 10. \] Restamos 10 en ambos lados: \[ -36u^2+6000u\ge 0. \] Factorizamos \( u \): \[ u(6000-36u)\ge 0. \] Para despejar los puntos críticos igualamos cada factor a cero: 1. \( u=0 \). 2. \( 6000-36u=0 \) implica \[ 36u=6000\quad\Rightarrow\quad u=\frac{6000}{36}=\frac{500}{3}\approx 166.67. \] Dado que \( u \) representa unidades producidas (en miles) y se considera sólo \( u\ge 0 \), estudiamos el signo del producto \( u(6000-36u) \) en el intervalo \( [0,\frac{500}{3}] \). - Para \( u=0 \) y \( u=\frac{500}{3} \) la expresión se anula. - Si \( 0