Aufgabe: (2 Punkte) Berechne den Winkel unter dem sich die Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 3 \\ -5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}5 \\ 4 \\ -3\end{array}\right) \) und \( \mathrm{h}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 7 \\ -8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \) schneiden. (bitte mit 1 Stelle nach dem Komma bzw. Punkt angeben - "." statt "," als Trenner verwenden) Iösen

Um den Winkel zwischen den beiden Geraden zu berechnen, verwenden wir die Richtungsvektoren der Geraden. Die Geraden g und h haben folgende Richtungsvektoren: \[ \vec{r}_g = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad \vec{r}_h = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \] Den Winkel \(\theta\) zwischen den beiden Vektoren finden wir mit der Formel: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{r}_g \cdot \vec{r}_h}{|\vec{r}_g| \cdot |\vec{r}_h|} \] Berechnen wir zuerst das Skalarprodukt: \[ \vec{r}_g \cdot \vec{r}_h = 5 \cdot (-4) + 4 \cdot (-2) + (-3) \cdot 2 = -20 - 8 - 6 = -34 \] Jetzt berechnen wir die Längen der Vektoren: \[ |\vec{r}_g| = \sqrt{5^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] \[ |\vec{r}_h| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] Setzen wir diese Werte in die Formel für \(\cos(\theta)\) ein: \[ \cos(\theta) = \frac{-34}{(5\sqrt{2})(2\sqrt{6})} = \frac{-34}{10\sqrt{12}} = \frac{-34}{20\sqrt{3}} = \frac{-17}{10\sqrt{3}} \] Um \(\theta\) zu finden, nehmen wir den arccos: \[ \theta = \arccos\left(\frac{-17}{10\sqrt{3}}\right) \] Rechnen wir den Winkel aus. Zuerst berechnen wir den Wert: \(\frac{-17}{10\sqrt{3}} \approx -0.978\) Jetzt können wir den Winkel berechnen: \[ \theta \approx 162.2^\circ \] Der Winkel zwischen den Geraden \(g\) und \(h\) beträgt somit etwa **162.2 Grad**.