Aufgabe: \( (2 \) Punkte) Berechne den Winkel unter dem sich die Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -5 \\ -1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}4 \\ -5 \\ 5\end{array}\right) \) und \( \mathrm{h}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ 5 \\ -11\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ -4\end{array}\right) \) schneiden. (bitte mit 1 Stelle nach dem Komma bzw. Punkt angeben - "." statt "," als Trenner verwenden)

Um den Schnittwinkel zwischen den Geraden g und h zu berechnen, benötigen wir die Richtungsvektoren \( \vec{r_g} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} \) und \( \vec{r_h} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} \). Der Winkel \( \theta \) zwischen zwei Vektoren kann mit der Formel \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{r_g} \cdot \vec{r_h}}{|\vec{r_g}| |\vec{r_h}|} \] berechnet werden. Zuerst berechnen wir das Skalarprodukt: \[ \vec{r_g} \cdot \vec{r_h} = 4 \cdot 4 + (-5) \cdot (-1) + 5 \cdot (-4) = 16 + 5 - 20 = 1 \] Jetzt berechnen wir die Längen der Vektoren: \[ |\vec{r_g}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25 + 25} = \sqrt{66} \] \[ |\vec{r_h}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \] Jetzt setzen wir alles in die Formel ein: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{33}} = \frac{1}{\sqrt{2178}} \] Jetzt berechnen wir \( \theta \): \[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2178}}\right) \approx 1,560 \text{ Radian} \] Um den Winkel in Grad zu berechnen, verwenden wir die Umrechnungsformel \( \theta \times \frac{180}{\pi} \): \[ \theta \approx 89,5 \text{ Grad} \] Somit beträgt der Winkel, unter dem sich die Geraden schneiden, etwa \( 89,5 \) Grad.