Esercizio 6. Si consideri la curva algebrica: \[ \mathscr{C}: x(x-2 y) y-x^{2}+y^{2}=0 \] (a) Trovare la chiusura proiettiva di \( \mathscr{C} \). (b) Trovare i punti impropri di \( \mathscr{C} \). (c) Trovare i punti singolari di \( \mathscr{C} \). (d) Trovare gli asintoti di \( \mathscr{C} \). (e) Calcolare la molteplicità di intersezione tra \( \mathscr{C} \) e l'asse \( x \) nell'origine. (f) Calcolare tutte le rette tangenti nell'origine a \( \mathscr{C} \).

(a) **Trovare la chiusura proiettiva di \( \mathscr{C} \).** Per ottenere la chiusura proiettiva della curva algebrica \( \mathscr{C} \), dobbiamo omogeneizzare l'equazione data introducendo la coordinata aggiuntiva \( Z \). L'equazione affine della curva è: \[ x(x - 2y)y - x^{2} + y^{2} = 0 \] Semplifichiamo e riscriviamo l'equazione: \[ x^{2}y - 2xy^{2} - x^{2} + y^{2} = 0 \] Per omogeneizzare l'equazione, ogni termine deve avere lo stesso grado. Il grado massimo presente è 3. Pertanto, moltiplichiamo i termini di grado inferiore per le potenze appropriate di \( Z \) per ottenere termini tutti di grado 3: \[ X^{2}Y - 2XY^{2} - X^{2}Z + Y^{2}Z = 0 \] Quindi, la chiusura proiettiva della curva \( \mathscr{C} \) è data da: \[ \mathscr{C} \colon X^{2}Y - 2XY^{2} - X^{2}Z + Y^{2}Z = 0 \]