et détermine la dérivée de $$ f $$. 1. $$ f(x)=\frac{1}{5} x^{5}-3 x^{2}-\frac{3}{4} x+5 $$ 2. $$ f(x)=-3 x+2-\frac{3}{7-x} ; 3 \cdot f(x)=x-\cos x $$ 4. $$ f(x)=\frac{3 x^{2}-x+2}{3 x-1} $$

Question

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Alright, je dois déterminer la dérivée de chaque fonction donnée. Commençons par la première fonction.

1. $$ f(x) = \frac{1}{5}x^{5} - 3x^{2} - \frac{3}{4}x + 5 $$

Pour trouver la dérivée, je vais dériver chaque terme séparément.

- Le premier terme est $$ \frac{1}{5}x^{5} $$. La dérivée de $$ x^{n} $$ est $$ n x^{n-1} $$, donc la dérivée de ce terme est $$ \frac{1}{5} 	imes 5x^{4} = x^{4} $$.

- Le deuxième terme est $$ -3x^{2} $$. La dérivée de $$ x^{2} $$ est $$ 2x $$, donc la dérivée de ce terme est $$ -6x $$.

- Le troisième terme est $$ -\frac{3}{4}x $$. La dérivée de $$ x $$ est $$ 1 $$, donc la dérivée de ce terme est $$ -\frac{3}{4} $$.

- Le dernier terme est $$ 5 $$, qui est une constante. La dérivée d'une constante est $$ 0 $$.

En ajoutant toutes les dérivées des termes, la dérivée totale de $$ f(x) $$ est $$ x^{4} - 6x - \frac{3}{4} $$.

Maintenant, passons à la deuxième fonction.

2. $$ f(x) = -3x + 2 - \frac{3}{7 - x} $$

Cette fonction est une combinaison de termes linéaires et d'une fraction. Je vais dériver chaque terme.

- Le premier terme est $$ -3x $$. La dérivée de $$ x $$ est $$ 1 $$, donc la dérivée de ce terme est $$ -3 $$.

- Le deuxième terme est $$ 2 $$, qui est une constante. La dérivée d'une constante est $$ 0 $$.

- Le troisième terme est $$ -\frac{3}{7 - x} $$. Pour dériver cette fraction, je vais utiliser la règle de dérivation pour les fonctions de la forme $$ \frac{1}{u} $$, où $$ u = 7 - x $$. La dérivée de $$ \frac{1}{u} $$ est $$ -\frac{1}{u^{2}} 	imes u' $$. Ici, $$ u' = -1 $$, donc la dérivée de $$ -\frac{3}{7 - x} $$ est $$ -\frac{3}{(7 - x)^{2}} 	imes (-1) = \frac{3}{(7 - x)^{2}} $$.

En ajoutant toutes les dérivées des termes, la dérivée totale de $$ f(x) $$ est $$ -3 + \frac{3}{(7 - x)^{2}} $$.

Maintenant, examinons la troisième fonction.

4. $$ f(x) = \frac{3x^{2} - x + 2}{3x - 1} $$

Cette fonction est une fraction de polynômes. Pour dériver une fraction de la forme $$ \frac{u}{v} $$, je vais utiliser la règle de dérivation pour les fonctions de quotient, qui est $$ \frac{u'v - uv'}{v^{2}} $$.

- $$ u = 3x^{2} - x + 2 $$, donc $$ u' = 6x - 1 $$.

- $$ v = 3x - 1 $$, donc $$ v' = 3 $$.

En appliquant la règle du quotient, la dérivée de $$ f(x) $$ est $$ \frac{(6x - 1)(3x - 1) - (3x^{2} - x + 2)(3)}{(3x - 1)^{2}} $$.

Expansible cela, on obtient $$ \frac{18x^{2} - 6x - 3x + 1 - 9x^{2} + 3x - 6}{(3x - 1)^{2}} = \frac{9x^{2} - 6x - 5}{(3x - 1)^{2}} $$.

Donc, la dérivée de $$ f(x) $$ est $$ \frac{9x^{2} - 6x - 5}{(3x - 1)^{2}} $$.

1. $$ f'(x) = x^{4} - 6x - \frac{3}{4} $$ 2. $$ f'(x) = -3 + \frac{3}{(7 - x)^{2}} $$ 4. $$ f'(x) = \frac{9x^{2} - 6x - 5}{(3x - 1)^{2}} $$

et détermine la dérivée de \( f \). 1. \( f(x)=\frac{1}{5} x^{5}-3 x^{2}-\frac{3}{4} x+5 \) 2. \( f(x)=-3 x+2-\frac{3}{7-x} ; 3 \cdot f(x)=x-\cos x \) 4. \( f(x)=\frac{3 x^{2}-x+2}{3 x-1} \)

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