Pregunta
upstudy study bank question image url

12. [-/1 Points] DETAILS MY NOTES SCALCET9 3.5.032. Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point. \[ x^{2}+6 x y+12 y^{2}=28, \quad(2,1) \quad \text { (ellipse) } \] Sten

Ask by Lowe Ortiz. in the United States
Mar 18,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The equation of the tangent line at the point \((2, 1)\) is: \[ y = -\frac{5}{18}x + \frac{14}{9} \]

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Bonus Knowledge

To tackle this problem, let's first differentiate both sides of the equation \( x^{2}+6xy+12y^{2}=28 \) implicitly with respect to \( x \). Doing so gives us \( 2x + 6(y + x \frac{dy}{dx}) + 24y\frac{dy}{dx} = 0 \). Now, we can isolate \( \frac{dy}{dx} \) by solving for it and substituting the coordinates of the point (2, 1). Once evaluated, you’ll find that the slope \( \frac{dy}{dx} \) at the point (2, 1) is equal to a specific number, say \( m \). Using the point-slope form of the linear equation, you can easily derive the equation of the tangent line. For a deeper understanding of implicit differentiation, consider exploring classic instances from calculus - like studying the curves defined by equations you wouldn’t typically solve for \( y \) directly. Implicit differentiation is like a magical key that opens up the secrets of these curves without ever having to rearrange them into explicit forms! Moreover, exploring real-world applications of implicit differentiation can be incredibly fascinating. This technique has critical roles in fields such as physics and economics, where relationships between variables can't always be defined explicitly. For instance, calculating the slope of curves describing supply and demand in economics often requires the careful application of implicit differentiation to understand shifts and changes—helping make sense of real-life market behaviors!

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad