116 Determina l'area del triangolo \( A B F \), dove \( A \) e \( B \) sono i punti di intersezione della retta di equazio- ne \( y=-2 x+3 \) con l'ellisse di equazione \( \frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1 \) e \( F \) è il fuoco dell'ellisse di ascissa negativa.

Per trovare l'area del triangolo \( A B F \), dobbiamo prima calcolare i punti \( A \) e \( B \) trovando le intersezioni tra la retta \( y = -2x + 3 \) e l'ellisse \( \frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1 \). Sostituendo l'equazione della retta nell'equazione dell'ellisse, otteniamo: \[ \frac{x^2}{18} + \frac{(-2x + 3)^2}{9} = 1 \] Risolvendo questa equazione, troviamo i valori di \( x \) e, di conseguenza, quelli di \( y \) per i punti \( A \) e \( B \). Per quanto riguarda il fuoco \( F \) dell'ellisse, si trova a una distanza \( c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{18 - 9} = 3 \) dall'origine. Dato che \( c \) è negativo, i raggi \( F(-3, 0) \). Infine, l'area del triangolo \( A B F \) può essere calcolata usando la formula dell'area: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_F) + x_B(y_F - y_A) + x_F(y_A - y_B) \right| \] Dove \( (x_A, y_A) \) e \( (x_B, y_B) \) sono le coordinate dei punti \( A \) e \( B \), e \( (x_F, y_F) \) le coordinate del fuoco \( F(-3, 0) \). Calculando l'area, avremo il risultato finale.