Persamaan garis singgung lingkaran $$ x^{2}+y^{2}+4 x-6 y-7=0 $$ yang sejajar dengan garis $$ 3 x-4 y+5= $$ 0 adalah... A. $$ y=\frac{3}{4} x+\frac{9}{2} \pm \frac{5}{2} \sqrt{5} $$ B. $$ y=\frac{3}{4} x+\frac{9}{2} \pm \frac{5}{2} \sqrt{5} $$ C. $$ y=\frac{3}{4} x-\frac{9}{2} \pm \frac{5}{2} \sqrt{5} $$ D. $$ y=-\frac{3}{4} x-\frac{9}{2} \pm \frac{5}{2} \sqrt{5} $$ E. $$ y=-\frac{3}{4} x+\frac{9}{2} \pm \frac{5}{2} \sqrt{5} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar dengan garis $$ 3x - 4y + 5 = 0 $$, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

### Langkah 1: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah:
$$
x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 7 = 0
$$
Kita akan mengubahnya ke dalam bentuk standar $$ (x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2} $$.

1. **Mengelompokkan dan menyelesaikan kuadrat sempurna:**
   $$
   (x^{2} + 4x) + (y^{2} - 6y) = 7
   $$
   - Untuk $$ x^{2} + 4x $$:
     $$
     x^{2} + 4x = (x + 2)^{2} - 4
     $$
   - Untuk $$ y^{2} - 6y $$:
     $$
     y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9
     $$

2. **Mengganti kembali ke dalam persamaan:**
   $$
   (x + 2)^{2} - 4 + (y - 3)^{2} - 9 = 7
   $$
   $$
   (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} - 13 = 7
   $$
   $$
   (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 20
   $$

Dari sini, kita mendapatkan:
- Pusat lingkaran $$ (h, k) = (-2, 3) $$
- Jari-jari $$ r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$

### Langkah 2: Menentukan kemiringan garis

Garis yang sejajar dengan $$ 3x - 4y + 5 = 0 $$ memiliki kemiringan yang sama. Kita dapat menulis ulang persamaan garis tersebut dalam bentuk $$ y = mx + b $$:
$$
4y = 3x + 5 \implies y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}
$$
Jadi, kemiringan $$ m = \frac{3}{4} $$.

### Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung

Persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis tersebut dapat dituliskan sebagai:
$$
y - k = m(x - h)
$$
Substitusi $$ m = \frac{3}{4} $$, $$ h = -2 $$, dan $$ k = 3 $$:
$$
y - 3 = \frac{3}{4}(x + 2)
$$
$$
y - 3 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}
$$
$$
y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} + 3
$$
$$
y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}
$$

### Langkah 4: Menentukan titik singgung

Karena kita mencari dua garis singgung, kita perlu menambahkan dan mengurangi jari-jari lingkaran dari $$ \frac{9}{2} $$:
$$
y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2} \pm \frac{5}{2}\sqrt{5}
$$

### Kesimpulan

Persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar dengan garis yang diberikan adalah:
$$
y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2} \pm \frac{5}{2}\sqrt{5}
$$

Jadi, jawaban yang benar adalah:
**A. $$ y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2} \pm \frac{5}{2}\sqrt{5} $$**
The equation of the tangent lines to the circle $$ x^{2} + y^{2} + 4x - 6y - 7 = 0 $$ that are parallel to the line $$ 3x - 4y + 5 = 0 $$ is: $$ y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2} \pm \frac{5}{2}\sqrt{5} $$ So, the correct answer is **A. $$ y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2} \pm \frac{5}{2}\sqrt{5} $$**

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions