(21.) Si: $$ x+\frac{1}{x}=5 $$ Calcular: $$ E=x^{3}+x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}} $$

Question

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Dado que

$$
x+\frac{1}{x}=5,
$$

seguimos los siguientes pasos:

1. Calcular $$ x^2+\frac{1}{x^2} $$. Utilizamos la identidad

$$
\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2},
$$

por lo que despejamos

$$
x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2.
$$

Sustituyendo $$ x+\frac{1}{x}=5 $$:

$$
x^2+\frac{1}{x^2}=5^2-2=25-2=23.
$$

2. Calcular $$ x^3+\frac{1}{x^3} $$. Empleamos la identidad

$$
\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3},
$$

lo que se puede escribir como

$$
x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right).
$$

Sustituyendo nuevamente:

$$
x^3+\frac{1}{x^3}=5^3-3\cdot5=125-15=110.
$$

3. Finalmente, expresamos $$ E $$:

$$
E=x^3+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)+\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right).
$$

Sustituyendo los valores obtenidos:

$$
E=110+23=133.
$$

Por lo tanto, el valor de $$ E $$ es $$ 133 $$.
El valor de $$ E $$ es $$ 133 $$.

(21.) Si: Calcular: