(b) Se te da el punto $$ (-2, \pi / 4) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera quer $$ 0 Y 2 \pi \leq heta

Question

(b) Se te da el punto $$ (-2, \pi / 4) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera quer $$ >0 Y 2 \pi \leq 	heta<4 \pi $$. $$ r=2 $$ $$ 	heta=\frac{13 \pi}{4} $$ (ii) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera que $$ <0 Y-2 \pi \leq 	heta<0 $$. $$ r=2 $$ $$ 	heta=\frac{7 \pi}{4} $$

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$$ \textbf{Paso 1: Convertir la coordenada original a una forma “estándar”.} $$ La coordenada dada es $$ (-2,\frac{\pi}{4}). $$ Recordamos que en coordenadas polares, la representación $$ (-r,\theta) $$ es equivalente a $$ (r,\theta+\pi). $$ Aplicando esto a la coordenada dada, se tiene: $$ (-2,\frac{\pi}{4}) = \left(2,\frac{\pi}{4}+\pi\right)=\left(2,\frac{5\pi}{4}\right). $$ Esta es una forma equivalente con $$ r>0 $$. --- $$ \textbf{(i) Encontrar una representación con } r>0 \textbf{ y } 2\pi\le \theta<4\pi. $$ Partiendo de la forma $$ \left(2,\frac{5\pi}{4}\right), $$ queremos que el ángulo esté entre $$ 2\pi $$ y $$ 4\pi $$. Para ello se le suma $$2\pi$$ al ángulo: $$ \theta = \frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{5\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}. $$ Entonces, la representación es: $$ \left(2,\frac{13\pi}{4}\right). $$ --- $$ \textbf{(ii) Encontrar una representación con } r<0 \textbf{ y } -2\pi\le \theta <0. $$ Podemos partir de la representación original $$(-2,\frac{\pi}{4})$$ que ya tiene $$ r=-2 $$ (es decir, negativo), pero su ángulo $$ \frac{\pi}{4} $$ no está en el intervalo requerido. Para obtener un ángulo en $$[ -2\pi,0 )$$, podemos restar $$2\pi$$ al ángulo sin modificar el punto, ya que la representación polar es única salvo los múltiplos de $$2\pi$$. Es decir: $$ \theta = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}. $$ Entonces, la representación con $$ r<0 $$ es: $$ \left(-2,-\frac{7\pi}{4}\right). $$ --- $$ \textbf{Respuesta final:} $$ (i) Con $$ r>0 $$ y $$ 2\pi \le \theta <4\pi $$: $$ (2,\frac{13\pi}{4}). $$ (ii) Con $$ r<0 $$ y $$-2\pi \le \theta < 0$$: $$ (-2,-\frac{7\pi}{4}). $$ (i) $$ (2, \frac{13\pi}{4}) $$ (ii) $$ (-2, -\frac{7\pi}{4}) $$

(b) Se te da el punto en coordenadas polares.
(i) Encuentra otro par de coordenadas polares para este
punto de tal manera quer .

(ii) Encuentra otro par de coordenadas polares para este
punto de tal manera que .

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(b) Se te da el punto en coordenadas polares. (i) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera quer . (ii) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera que .