La solución de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior \( y_{1}=x+1, y_{2}=x, y_{3}=x^{2} \) es:

Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior dado por \( y_{1}=x+1, y_{2}=x, y_{3}=x^{2} \), primero identificamos que estas son funciones que pueden ser consideradas como soluciones de una ecuación diferencial. 1. **Identificación de las funciones**: - \( y_{1} = x + 1 \) - \( y_{2} = x \) - \( y_{3} = x^{2} \) 2. **Derivadas**: Para encontrar la ecuación diferencial que estas funciones satisfacen, calculamos las derivadas de cada función. - La primera derivada de \( y_{1} \): \[ y_{1}' = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1 \] - La primera derivada de \( y_{2} \): \[ y_{2}' = \frac{d}{dx}(x) = 1 \] - La primera derivada de \( y_{3} \): \[ y_{3}' = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x \] 3. **Segunda derivada**: - La segunda derivada de \( y_{1} \): \[ y_{1}'' = \frac{d^2}{dx^2}(x + 1) = 0 \] - La segunda derivada de \( y_{2} \): \[ y_{2}'' = \frac{d^2}{dx^2}(x) = 0 \] - La segunda derivada de \( y_{3} \): \[ y_{3}'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^{2}) = 2 \] 4. **Formación de la ecuación diferencial**: Observamos que \( y_{1} \) y \( y_{2} \) son funciones lineales que tienen derivadas de orden superior que son cero, lo que indica que son soluciones de la ecuación diferencial de orden 2: \[ y'' = 0 \] Para \( y_{3} \), la segunda derivada es constante, lo que sugiere que también puede ser parte de una solución de una ecuación diferencial de orden superior. 5. **Conclusión**: Las funciones \( y_{1}, y_{2}, y_{3} \) son soluciones de la ecuación diferencial de orden 2, y en general, la solución general de una ecuación diferencial lineal de orden superior puede ser expresada como una combinación lineal de sus soluciones fundamentales. Por lo tanto, la solución general de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior dadas es: \[ y = C_{1}(x + 1) + C_{2}(x) + C_{3}(x^{2}) \] donde \( C_{1}, C_{2}, C_{3} \) son constantes arbitrarias.