Exercice 1 Vrai-Faux. Justifier. Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? 1. Soit $$ \left(u_{n} ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=1 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=u_{n}+2 $$ 2. Soit $$ \left(u_{n} ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=1 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=2 imes u_{n} $$ 3. Soit $$ \left(u_{n} ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=-1 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=u_{n}-2 $$ 4. Soit $$ \left(u_{n} ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=0 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=u_{n} $$ 5. Soit $$ \left(u_{n} ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=1 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=2 imes u_{n}+2 $$

Question

Exercice 1 Vrai-Faux. Justifier. Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? 1. Soit $$ \left(u_{n}ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=1 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=u_{n}+2 $$ 2. Soit $$ \left(u_{n}ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=1 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=2 	imes u_{n} $$ 3. Soit $$ \left(u_{n}ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=-1 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=u_{n}-2 $$ 4. Soit $$ \left(u_{n}ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=0 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=u_{n} $$ 5. Soit $$ \left(u_{n}ight) $$ la suite de premier terme $$ u_{0}=1 $$ et pour tout n appartenant à $$ \mathrm{N}, u_{n+1}=2 	imes u_{n}+2 $$

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1. **Primeiro enunciado:**  
   A sequência é definida por  
   $$
   u_0 = 1 \quad \text{e} \quad u_{n+1} = u_n + 2.
   $$  
   Para uma sequência ser aritmética, deve existir uma razão constante $$ r $$ tal que  
   $$
   u_{n+1} - u_n = r.
   $$  
   Aqui, temos  
   $$
   u_{n+1} - u_n = 2,
   $$  
   que é independente de $$ n $$. Portanto, a sequência é aritmética, com razão $$ r = 2 $$.

2. **Segundo enunciado:**  
   A sequência é definida por  
   $$
   u_0 = 1 \quad \text{e} \quad u_{n+1} = 2 \times u_n.
   $$  
   Neste caso, a relação de récurência multiplica o termo anterior por $$ 2 $$, ou seja,  
   $$
   u_{n+1} = 2 \, u_n.
   $$  
   Para que uma sequência seja aritmética, a diferença  
   $$
   u_{n+1} - u_n
   $$  
   precisa ser constante. Mas aqui, a diferença varia com $$ u_n $$ (por exemplo, $$ u_1 - u_0 = 2-1=1 $$ e $$ u_2-u_1 = 4-2=2 $$). Assim, a sequência não é aritmética; é, na verdade, uma sequência geométrica.

3. **Terceiro enunciado:**  
   A sequência é definida por  
   $$
   u_0 = -1 \quad \text{e} \quad u_{n+1} = u_n - 2.
   $$  
   Calculando a diferença, temos  
   $$
   u_{n+1} - u_n = -2,
   $$  
   constante para todo $$ n $$. Portanto, a sequência é aritmética com razão $$ r = -2 $$.

4. **Quarto enunciado:**  
   A sequência é definida por  
   $$
   u_0 = 0 \quad \text{e} \quad u_{n+1} = u_n.
   $$  
   Isso implica que  
   $$
   u_{n+1} - u_n = 0,
   $$  
   para todo $$ n $$. Assim, a sequência é aritmética com razão $$ r = 0 $$ (sequência constante).

5. **Quinto enunciado:**  
   A sequência é definida por  
   $$
   u_0 = 1 \quad \text{e} \quad u_{n+1} = 2 \times u_n + 2.
   $$  
   Vamos calcular as diferenças iniciais:  
   - Para $$ n=0 $$:  
     $$
     u_1 = 2 \times 1 + 2 = 4, \quad \text{e} \quad u_1 - u_0 = 4 - 1 = 3.
     $$  
   - Para $$ n=1 $$:  
     $$
     u_2 = 2 \times 4 + 2 = 10, \quad \text{e} \quad u_2 - u_1 = 10 - 4 = 6.
     $$  
   Como as diferenças não são iguais (pois $$ 3 \neq 6 $$), a sequência não é aritmética.

Resumo:  
1. A sequência é aritmética.  
2. A sequência não é aritmética.  
3. A sequência é aritmética.  
4. A sequência é aritmética.  
5. A sequência não é aritmética.
1. **Verdadeiro** A sequência é aritmética com razão $$ r = 2 $$. 2. **Falso** A sequência não é aritmética; é geométrica. 3. **Verdadeiro** A sequência é aritmética com razão $$ r = -2 $$. 4. **Verdadeiro** A sequência é aritmética com razão $$ r = 0 $$. 5. **Falso** A sequência não é aritmética. Resumo: 1. Verdadeiro 2. Falso 3. Verdadeiro 4. Verdadeiro 5. Falso

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