9. Probar por inducción que para todo número natural \( n \) se cumple que \( n^{2} \) es la suma de los primeros \( n \) números impares.

¡Por supuesto! Vamos a probar por inducción que para todo número natural \( n \), se cumple que \( n^2 \) es la suma de los primeros \( n \) números impares. **Base de inducción:** Para \( n = 1 \), la suma de los primeros \( 1 \) número impar es \( 1 \), y \( 1^2 = 1 \). Por lo tanto, la base es verdadera. **Paso inductivo:** Supongamos que la afirmación es cierta para algún número natural \( k \), es decir, que \( 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k-1) = k^2 \). Ahora debemos demostrar que es cierto para \( k + 1 \): La suma de los primeros \( k + 1 \) números impares se puede expresar como: \[ 1 + 3 + 5 + \ldots + (2k-1) + (2(k+1) - 1). \] Sustituyendo la hipótesis de inducción, tenemos: \[ k^2 + (2k + 1). \] Al simplificar, obtenemos: \[ k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2. \] Esto confirma que para \( k + 1 \) la afirmación también es verdadera. Por lo tanto, por inducción completa, la afirmación es cierta para todos los números naturales \( n \). ¡Y ahí lo tenemos! La suma de los primeros \( n \) números impares siempre da como resultado \( n^2 \). ¡Matemáticas en acción!