0. Geometrik progressiyada \( b_{1}+b_{2}+b_{3}=13 \) va \( b_{5}-b_{4}=54 \) bo'lsa, uning maxrajini toping. A) -3 B) -2 C) 3 D) 2

Birinchi qadamda geometrik progressiyaning birinchi uchta hadini ifodalovchi tenglama yozamiz. Progressiyaning umumiy hadlari quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: \[ b_1,\quad b_1q,\quad b_1q^2,\dots \] Shartga ko‘ra: \[ b_1 + b_1q + b_1q^2 = 13 \quad \Rightarrow \quad b_1(1+q+q^2)=13. \tag{1} \] Keyin, berilgan shartga ko‘ra, beshinchi va tortinchi hadlar orasidagi farq: \[ b_5 - b_4 = 54. \] Bu hadlarni ifodalash uchun: \[ b_5 = b_1q^4,\quad b_4 = b_1q^3. \] Shunday qilib, \[ b_1q^4 - b_1q^3 = b_1q^3(q-1)=54. \tag{2} \] Endi, (1) tenglamadan \(b_1\) ni ifodalab olamiz: \[ b_1 = \frac{13}{1+q+q^2}. \] Buni (2) tenglamaga o‘rnatsak: \[ \frac{13}{1+q+q^2}\, q^3 (q-1)=54. \] Bu tenglamani ko‘paytirib oddiylashtiramiz: \[ 13q^3(q-1)=54(1+q+q^2). \] Bu yerda variantlarni tekshirishingiz mumkin. Variantlar quyidagicha: - A) \(q=-3\) - B) \(q=-2\) - C) \(q=3\) - D) \(q=2\) Tekshiruv uchun \(q=3\) ni sinab ko‘ramiz. 1. Birinchi uch hadning yig‘indisi: \[ b_1(1+3+3^2)=b_1(1+3+9)=b_1\cdot13=13 \quad \Rightarrow \quad b_1=1. \] 2. \(b_5\) va \(b_4\) ni hisoblaymiz: \[ b_5 = 1\cdot3^4=81,\quad b_4 = 1\cdot3^3=27. \] Shunday qilib, \[ b_5-b_4=81-27=54. \] Shartlar to‘liq bajariladi. Natijada progressiyaning maxraji \(q=3\). Javob: C) \(3\).