1. Anote sua data de nascimento $$ d_{1} d_{2} / m_{1} m_{2} / a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} $$ e $$ \operatorname{sejam} v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} \in \mathbb{R}^{4} $$ os ve- tores $$ v_{1}=\left(d_{1}, d_{2}, m_{1}, m_{2} ight), v_{2}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ight), v_{3}=(0,0,-2,0) \mathrm{e} v_{4}=(1,1,1,0) $$. Por exemplo, se eu nasci em $$ 20 / 01 / 1989 $$, então $$ v_{1}=(2,0,0,1) \mathrm{e} v_{2}=(1,9,8,9) $$. (a) Existe um vetor $$ v \in \mathbb{R}^{4} $$ tal que $$ \left\langle v, v_{1} ight angle=-4,\left\langle v, v_{2} ight angle=3,\left\langle v, v_{3} ight angle=4 \mathrm{e}\left\langle v, v_{4} ight angle=0 $$ ? (b) Calcule a projeção ortogonal de $$ v_{3} $$ sobre $$ v_{2} $$. (c) Sendo $$ heta $$ o ângulo entre os vetores $$ v_{1} $$ e $$ v_{3} $$, calcule $$ \cos heta $$. (d) Obtenha uma base $$ B $$ para $$ \mathbb{R}^{4} $$, da seguinte forma: Se o conjunto $$ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3} ight\} $$ for L.I, complete-o com mais um vetor a sua escolha para obter uma base $$ B $$. Caso contrário, escolha um vetor para completar o conjunto $$ \left\{v_{2}, v_{3}, v_{4} ight\} $$ e obter uma base $$ B $$. (e) A partir da base $$ B $$ obtenha uma base ortonormal para $$ \mathbb{R}^{4} $$.

Question

1. Anote sua data de nascimento $$ d_{1} d_{2} / m_{1} m_{2} / a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} $$ e $$ \operatorname{sejam} v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} \in \mathbb{R}^{4} $$ os ve- tores $$ v_{1}=\left(d_{1}, d_{2}, m_{1}, m_{2}ight), v_{2}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}ight), v_{3}=(0,0,-2,0) \mathrm{e} v_{4}=(1,1,1,0) $$. Por exemplo, se eu nasci em $$ 20 / 01 / 1989 $$, então $$ v_{1}=(2,0,0,1) \mathrm{e} v_{2}=(1,9,8,9) $$. (a) Existe um vetor $$ v \in \mathbb{R}^{4} $$ tal que $$ \left\langle v, v_{1}ightangle=-4,\left\langle v, v_{2}ightangle=3,\left\langle v, v_{3}ightangle=4 \mathrm{e}\left\langle v, v_{4}ightangle=0 $$ ? (b) Calcule a projeção ortogonal de $$ v_{3} $$ sobre $$ v_{2} $$. (c) Sendo $$ 	heta $$ o ângulo entre os vetores $$ v_{1} $$ e $$ v_{3} $$, calcule $$ \cos 	heta $$. (d) Obtenha uma base $$ B $$ para $$ \mathbb{R}^{4} $$, da seguinte forma: Se o conjunto $$ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}ight\} $$ for L.I, complete-o com mais um vetor a sua escolha para obter uma base $$ B $$. Caso contrário, escolha um vetor para completar o conjunto $$ \left\{v_{2}, v_{3}, v_{4}ight\} $$ e obter uma base $$ B $$. (e) A partir da base $$ B $$ obtenha uma base ortonormal para $$ \mathbb{R}^{4} $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo.

### (a) Verificação da existência do vetor $$ v $$

Para verificar se existe um vetor $$ v \in \mathbb{R}^{4} $$ que satisfaça as condições dadas, precisamos resolver o seguinte sistema de equações lineares:

$$
\begin{align*}
\langle v, v_{1} \rangle &= -4 \
\langle v, v_{2} \rangle &= 3 \
\langle v, v_{3} \rangle &= 4 \
\langle v, v_{4} \rangle &= 0
\end{align*}
$$

Os vetores são:
- $$ v_{1} = (d_{1}, d_{2}, m_{1}, m_{2}) $$
- $$ v_{2} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) $$
- $$ v_{3} = (0, 0, -2, 0) $$
- $$ v_{4} = (1, 1, 1, 0) $$

Vamos representar $$ v $$ como $$ v = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) $$ e montar o sistema de equações.

As equações ficam:

1. $$ d_{1} x_{1} + d_{2} x_{2} + m_{1} x_{3} + m_{2} x_{4} = -4 $$
2. $$ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} + a_{4} x_{4} = 3 $$
3. $$ 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} - 2 x_{3} + 0 \cdot x_{4} = 4 $$ (ou seja, $$ -2 x_{3} = 4 $$ → $$ x_{3} = -2 $$)
4. $$ x_{1} + x_{2} + x_{3} + 0 \cdot x_{4} = 0 $$

Substituindo $$ x_{3} = -2 $$ na quarta equação:

$$
x_{1} + x_{2} - 2 = 0 \implies x_{1} + x_{2} = 2
$$

Agora, substituindo $$ x_{3} = -2 $$ na primeira e segunda equações:

1. $$ d_{1} x_{1} + d_{2} x_{2} + m_{1}(-2) + m_{2} x_{4} = -4 $$
2. $$ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3}(-2) + a_{4} x_{4} = 3 $$

Vamos resolver esse sistema. Para isso, precisamos dos valores de $$ d_{1}, d_{2}, m_{1}, m_{2}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} $$. Por favor, forneça sua data de nascimento para que possamos prosseguir.

### (b) Cálculo da projeção ortogonal de $$ v_{3} $$ sobre $$ v_{2} $$

A projeção de um vetor $$ u $$ sobre um vetor $$ v $$ é dada pela fórmula:

$$
\text{proj}_{v}(u) = \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} v
$$

Neste caso, $$ u = v_{3} $$ e $$ v = v_{2} $$. Precisamos calcular $$ \langle v_{3}, v_{2} \rangle $$ e $$ \langle v_{2}, v_{2} \rangle $$.

### (c) Cálculo de $$ \cos \theta $$

O cosseno do ângulo $$ \theta $$ entre dois vetores $$ a $$ e $$ b $$ é dado por:

$$
\cos \theta = \frac{\langle a, b \rangle}{\|a\| \|b\|}
$$

Precisamos calcular $$ \langle v_{1}, v_{3} \rangle $$, $$ \|v_{1}\| $$ e $$ \|v_{3}\| $$.

### (d) Obtenção de uma base $$ B $$

Para determinar se o conjunto $$ \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} $$ é linearmente independente (L.I), precisamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, eles são L.I. Caso contrário, precisamos usar o conjunto $$ \{v_{2}, v_{3}, v_{4}\} $$.

### (e) Obtenção de uma base ortonormal

Para obter uma base ortonormal a partir da base $$ B $$, podemos usar o processo de Gram-Schmidt.

Vamos prosseguir com as partes (b), (c), (d) e (e) após receber os valores da sua data de nascimento.
Para resolver o problema, precisamos dos valores da sua data de nascimento para completar as partes (a) e (b). Com esses valores, podemos calcular os vetores $$ v_{1} $$ e $$ v_{2} $$ e, então, resolver o sistema de equações para encontrar o vetor $$ v $$ que satisfaz as condições. Além disso, com os vetores completos, podemos calcular a projeção ortogonal, o cosseno do ângulo entre $$ v_{1} $$ e $$ v_{3} $$, verificar a linear independência do conjunto $$ \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} $$, e, se necessário, completar a base com um quarto vetor para formar uma base ortonormal de $$ \mathbb{R}^{4} $$.

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