D)Un rectangulo mide 2 m más de la bae se que de la altura y su àrea mide \( 180 \mathrm{~m}^{\text {a }} \) ¿Cuāpto mide la base y cuãnto la altura?

Para resolver este problema, primero necesitamos establecer las ecuaciones que relacionan la base y la altura del rectángulo con su área. Dado que el rectángulo mide 2 m más de la base que de la altura, podemos representar la base como \( b \) y la altura como \( b - 2 \). El área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura, por lo que tenemos la ecuación: \[ b \times (b - 2) = 180 \] Ahora, podemos resolver esta ecuación para encontrar el valor de la base y la altura del rectángulo. Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve using the quadratic formula: \(b\left(b-2\right)=180\) - step1: Expand the expression: \(b^{2}-2b=180\) - step2: Move the expression to the left side: \(b^{2}-2b-180=0\) - step3: Solve using the quadratic formula: \(b=\frac{2\pm \sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}\) - step4: Simplify the expression: \(b=\frac{2\pm \sqrt{724}}{2}\) - step5: Simplify the expression: \(b=\frac{2\pm 2\sqrt{181}}{2}\) - step6: Separate into possible cases: \(\begin{align}&b=\frac{2+2\sqrt{181}}{2}\\&b=\frac{2-2\sqrt{181}}{2}\end{align}\) - step7: Simplify the expression: \(\begin{align}&b=1+\sqrt{181}\\&b=\frac{2-2\sqrt{181}}{2}\end{align}\) - step8: Simplify the expression: \(\begin{align}&b=1+\sqrt{181}\\&b=1-\sqrt{181}\end{align}\) - step9: Rewrite: \(b_{1}=1-\sqrt{181},b_{2}=1+\sqrt{181}\) La solución de la ecuación \( b \times (b - 2) = 180 \) nos da dos valores posibles para la base del rectángulo: \( b_1 = 1 - \sqrt{181} \) y \( b_2 = 1 + \sqrt{181} \). Para determinar cuál de estos valores es la base real del rectángulo, debemos considerar que la base y la altura deben ser números reales y positivos, ya que no pueden ser negativos o imaginarios. Por lo tanto, la base del rectángulo es \( b = 1 + \sqrt{181} \) y la altura es \( b - 2 = 1 + \sqrt{181} - 2 = -1 + \sqrt{181} \). Por lo tanto, la base del rectángulo mide \( 1 + \sqrt{181} \) metros y la altura mide \( -1 + \sqrt{181} \) metros.