$$ x d x + ( y - 2 x ) d y = 0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea la ecuación diferencial

$$
x\,dx + (y - 2x)\,dy = 0.
$$

Procedemos a resolverla paso a paso.

**1. Cambio de variable**

Notamos que la ecuación puede ser tratada escribiendo $$ y $$ en función de $$ x $$, pero resulta conveniente llevar a cabo el cambio de variable

$$
u = \frac{y}{x},
$$

de modo que

$$
y = u\,x.
$$

Derivando respecto a $$ x $$ se tiene

$$
\frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}.
$$

**2. Reescribir la ecuación**

Dividimos la ecuación diferencial original por $$ dx $$ (asumiendo $$ dx \neq 0 $$):

$$
x + (y - 2x)\,\frac{dy}{dx} = 0.
$$

Sustituyendo $$ y = u\,x $$ y $$ \frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx} $$:

$$
x + \Bigl(u\,x - 2x \Bigr) \Bigl( u + x\,\frac{du}{dx} \Bigr) = 0.
$$

Notamos que $$ u\,x - 2x = x(u-2) $$. La ecuación se convierte en

$$
x + x(u-2) \Bigl( u + x\,\frac{du}{dx} \Bigr) = 0.
$$

Dividiendo entre $$ x $$ (suponiendo $$ x \neq 0 $$):

$$
1 + (u-2) \Bigl( u + x\,\frac{du}{dx} \Bigr) = 0.
$$

Sin embargo, esta forma no para directamente obtener una ecuación separable en $$ u $$ y $$ x $$. Es preferible derivar la ecuación de otra forma.

Pasemos a escribir la ecuación diferencial dividiendo originalmente la ecuación dada por $$ dx $$:

$$
x + (y-2x)\,\frac{dy}{dx} = 0.
$$

Despejamos $$ \frac{dy}{dx} $$:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y-2x}.
$$

Sustituimos $$ y = u\,x $$:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{u\,x - 2x} = \frac{-x}{x(u-2)} = \frac{-1}{u-2}.
$$

Pero por otra parte, del cambio de variable sabemos que

$$
\frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}.
$$

Igualando ambas expresiones se obtiene

$$
u + x\,\frac{du}{dx} = \frac{-1}{u-2}.
$$

Esta ecuación se puede reorganizar para despejar $$ \frac{du}{dx} $$:

$$
x\,\frac{du}{dx} = \frac{-1}{u-2} - u.
$$

Para simplificar la expresión del miembro derecho escribimos en común denominador:

$$
\frac{-1}{u-2} - u = \frac{-1 - u(u-2)}{u-2}.
$$

Calculemos $$ u(u-2) $$:

$$
u(u-2) = u^2 - 2u.
$$

Entonces,

$$
-1 - (u^2 - 2u) = -1 - u^2 + 2u = -(u^2 - 2u + 1).
$$

Observamos que

$$
u^2 - 2u + 1 = (u-1)^2,
$$

por lo que

$$
\frac{-1}{u-2} - u = \frac{-(u-1)^2}{u-2}.
$$

Así, tenemos

$$
x\,\frac{du}{dx} = \frac{-(u-1)^2}{u-2}.
$$

Multiplicando ambos lados por $$-1$$ y reorganizando:

$$
x\,\frac{du}{dx} = \frac{-(u-1)^2}{u-2} \quad \Longrightarrow \quad 
\frac{du}{dx} = -\frac{(u-1)^2}{x(u-2)}.
$$

**3. Separación de variables**

Separamos las variables $$ u $$ y $$ x $$:

$$
\frac{u-2}{(u-1)^2}\,du = -\frac{dx}{x}.
$$

**4. Integración**

Integramos ambos lados:

$$
\int \frac{u-2}{(u-1)^2}\,du = -\int \frac{dx}{x}.
$$

Para evaluar la integral del lado izquierdo, hagamos el cambio de variable

$$
v = u-1 \quad \Longrightarrow \quad dv = du.
$$

Observamos que

$$
u-2 = (v+1) - 2 = v-1.
$$

La integral se transforma en

$$
\int \frac{v-1}{v^2}\,dv = \int \left(\frac{v}{v^2} - \frac{1}{v^2}\right)dv 
= \int \left(\frac{1}{v} - \frac{1}{v^2}\right)dv.
$$

Integrando término a término:

$$
\int \frac{1}{v}\,dv = \ln|v|,\quad \int \frac{1}{v^2}\,dv = -\frac{1}{v}.
$$

Por lo tanto, la integral queda:

$$
\ln|v| + \frac{1}{v} = \ln|u-1| + \frac{1}{u-1}.
$$

La integral del lado derecho es

$$
-\int \frac{dx}{x} = -\ln|x| + C.
$$

Por consiguiente, igualando los resultados de las integrales:

$$
\ln|u-1| + \frac{1}{u-1} = -\ln|x| + C.
$$

**5. Regresar a la variable original**

Recordamos que $$ u = \frac{y}{x} $$, de donde

$$
u-1 = \frac{y}{x} - 1 = \frac{y-x}{x}.
$$

Notamos que

$$
\frac{1}{u-1} = \frac{x}{y-x}.
$$

Reemplazamos en la ecuación obtenida:

$$
\ln\left|\frac{y-x}{x}\right| + \frac{x}{y-x} = -\ln|x| + C.
$$

Usando propiedades de logaritmos, se tiene

$$
\ln|y-x| - \ln|x| + \frac{x}{y-x} = -\ln|x| + C.
$$

Se cancelan los términos $$ -\ln|x| $$ en ambos lados, dejando la solución implícita:

$$
\ln|y-x| + \frac{x}{y-x} = C.
$$

Esta es la solución general de la ecuación diferencial.

**Respuesta final:**

$$
\boxed{\ln|y-x| + \frac{x}{y-x} = C.}
$$
La solución general de la ecuación diferencial $$ x\,dx + (y - 2x)\,dy = 0 $$ es: $$ \ln|y - x| + \frac{x}{y - x} = C $$ donde $$ C $$ es una constante de integración.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions