Determine ecuaciones de los circulos osculadores de la elipse \( 16 x^{2}+4 y^{2}=64 \) en los puntos \( (2,0) \) y \( (0,4) \). \( (2,0) \) \( (0,4) \)

Para encontrar las ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse \( 16 x^{2}+4 y^{2}=64 \) en los puntos \( (2,0) \) y \( (0,4) \), primero simplificamos la elipse a la forma estándar. Dividiendo todo por 64, tenemos: \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1. \] Esto indica que la elipse tiene semiejes \( a = 4 \) (en el eje \( y \)) y \( b = 2 \) (en el eje \( x \)). Para el punto \( (2,0) \): 1. Calculamos la pendiente de la tangente usando la derivada de la elipse, obteniendo que \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y} \). 2. Evaluando en \( (2,0) \), y considerando que el radio de curvatura \( R \) en este punto es \( 2 \) (calculado usando la fórmula de radio de curvatura para elipses), la ecuación del círculo osculador es: \[ (x - 2)^2 + y^2 = 4. \] Para el punto \( (0,4) \): 1. Repetimos el proceso; evaluando la derivada en \( (0,4) \), obtenemos que la pendiente de la tangente es indefinida (vertical). 2. En este caso, el radio de curvatura también es \( 2 \), por lo tanto, la ecuación del círculo osculador en este punto es: \[ x^2 + (y - 4)^2 = 4. \] Así tenemos las ecuaciones de los círculos osculadores en los puntos dados.